V = S = P • Nikolajus Avilovas • "Elementai" populiariosios mokslo problemos • Matematika

V = S = P

Užduotis

Ar yra yra išgaubtas daugiasluoksnis, kurio skaitinės apimties, paviršiaus ploto ir visų kraštų ilgių sumos sutampa?


Užuomina

Toks daugiasluoksnis egzistuoja, pavyzdžiui, tarp teisingų prizminių.


Sprendimas

Po užuominos ieškokite tinkamos prizmės. Teisingą prizmę lemia skaičius n bazinio daugiakampio pusės a ir aukštas h.

Visų jo kraštų ilgis yra:

\ [P = 2na + nh. \]

Kadangi bazinis poligonas yra reguliarus, jo plotas, kaip jį lengva rasti, yra \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n \). Dabar yra lengva rasti likusius prizmės parametrus, kurie yra problemoje.

Jo apimtis V lygus:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n \ cdot h. \]

Paviršiaus plotas S lygus:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n + nah. \]

Iš lygybės V = S kad \ (a \ cdot \ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n = \ frac (4h) (h-2) \). Taip h > 2. Taip pat galite perrašyti išraišką tomei formoje \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % (h-2) \ cdot h = \ frac (nah ^ 2) (h-2) \).

Iš lygybės V = P santykiai \ (a = \ frac (h ^ 2-2h) (h ^ 2-2h + 4) \) ir

\ (\ mathrm % \, \ frac (\ pi) n = \ frac (4h) (a (h-2)) = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2) = 4 + \ frac (8h) {(h-2) ^ 2}. \)

Akivaizdu, kad funkcija \ (f (x) = \ frac (8x) {(x-2) ^ 2} \) intervalas \ ((0; \; (+ \ infty)) \) priima visas teigiamas reikšmes (ir niekas kitas). Todėl reikalinga ir pakankama sąlyga norimos prizmės egzistavimui yra: nelygybės \ (\ mathrm (ctg) \, \ frac (\ pi) n> 4 \) įvykdymas, kuris yra tikras \ (n> 12 \).


Po žodžio

Pažiūrėkime, kas vyksta panašioje padėtyje plokštumoje. Pavyzdžiui, 4 × 4 kvadratuose skaitmeninės zonos ir perimetro vertės yra vienodos. Tas pats turtas yra 3 × 6 stačiakampis ir dešinysis trikampis su kojomis 5 ir 12 (1 pav.).

Pav. 1.

Kaip žinote, stačiakampis nėra griežtas paveikslas: jei įdėkite vyrius į savo viršūnių, jie nebus nustatyti patys (kaip, pavyzdžiui, atsiranda trikampio ar tetraedro atveju). Naudojant tai, galima parodyti, kad yra lygiagretainio ploto su lygiavertėmis ploto ir perimetro reikšmėmis. Lengva rasti stačiakampį, kurio plotas yra didesnis už perimetrą: tinka stačiakampis su šonais 8 ir 5. Jei palaipsniui sumažinsite vieną iš stačiakampio stačių kampų nuo 90 ° iki 0 °, tada, pirma, stačiakampis iš karto pasisuks į lygiagretainį, perimetras išliks lygus 26, antra, jos plotas nuolatos mažės nuo 40 iki 0, o tam tikru momentu jis taps lygus 26. Tai bus būtinas lygiagretusis dydis. Šis procesas parodytas stačiakampio rėmo modelyje (2 pav.). Akivaizdu, kad tokie параллелограммы yra begalybės daug.

Pav. 2

Mes parodėme, kad yra begalybės daugybė trikampių, kurių skaitmeninės teritorijos ir perimetro vertės yra vienodos.Mes suskirstome visus trikampius į klases, kurių kiekviename yra visi panašūs trikampiai. Pasirodo, kad kiekvienoje tokioje klasėje yra trikampis, kuriame skaitmeninės teritorijos ir perimetro vertės yra vienodos. Apsvarstykite vieną iš klasės trikampių. Tegul jo plotas yra S1ir perimetras yra P1, tada panašus trikampis su koeficientu k yra plotas S2 = k2S1 ir perimetras P2 = kP1. Jei kaip panašumo koeficientas k = P1/S1tada mes gauname trikampį su \ (S_2 = P_2 = \ frac (P_1 ^ 2) (S_1) \). Kas buvo reikalaujama.

Pavyzdžiui, paimkite Egipto trikampį. Jo perimetras yra \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), ir plotas \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Trikampis panašus į jį su panašumo koeficientu 2 turės nurodytą nuosavybę: jis yra dešinysis trikampis su kojomis 6 ir 8 (3 pav., Kairė). Taip pat galima apsvarstyti pusiausvyrinius trikampius. Tarp jų reikalingas turtas turi trikampį su \ \ (4 \ sqrt (3) \): jo plotas ir perimetras yra lygūs \ (12 \ sqrt (3) \).

Pav. 3

Panašiai tariant, galima parodyti, kad kiekvienoje panašių daugiakampių klasėje yra tokia, kurioje yra lygios teritorijos ir perimetro skaitmeninės reikšmės.

Trijų dimensijų erdvėje natūralu, kaip buvo padaryta problemos išdėstyme, pridedama lygių apimties sąlyga.Iš sprendimo yra aišku, kad ne kiekvienas "polyhedron" tipo tipas leidžia lygiuoti tūrį, paviršiaus plotą ir bendrą kraštų ilgį: tarp teisingos n-karboniniai prizmai n <12 nėra.

Visų pirma, tokio kubo ir stačiakampio formos paralelinio pipelio nėra (nes tai keturkampiai prizmai). Tačiau tokioms daugiasluoksniams lengva atlikti patikrinimą ant galvos. Pavyzdžiui, kubui tai atliekama panašiai. Kubas su kraštu a turi tūrį V = a3paviršiaus plotas S = 6a2 ir krašto ilgio suma P = 12a. Jei S = P, tada 6a2 = 12atai yra a = 2. Bet tada S = P = 24, ir V = 8.

Nepaisant to, kai kurioms daugiasluoksnioms gali būti ir tokie patys argumentai kaip trikampis. Jei mes atsižvelgsim į visas daugiasluoksnes, tai kraštinių ilgių suma skirsis proporcingai nuo pirmojo panašumo koeficiento laipsnio, paviršiaus plotas bus proporcingas antrajam laipsniui, o tūris bus proporcingas trečiajam laipsniui. Tai reiškia, kad užduotis mažėja iki šio klausimo: ar atitinkamos eilutės, parabolos ir kubai vienoje vietoje susikerta? Tokio formato poluadrinės formos pokytis atitinka šių kreivių poslinkius plokštumoje.Ir gana akivaizdu, kad kai kuriais atvejais jie gali būti išdėstyti taip, kad jie susikerta vienu metu. Bet ar galima kokiu nors būdu pagrįstai apibūdinti visas susijusias daugiasluoksnes? … Jei turite idėjų šia tema – parašykite komentarus problemai!


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: