Trys viename • Eugenijus Epifanovas • Populiariosios mokslo problemos "Elementai" • Matematika

Trys viename

Užduotis

Kiek keliais būdais ar galite pjauti aikštę į tris stačiakampius, kurių kiekviena yra panaši į kitus du? Prisiminkite, kad du stačiakampiai yra panašūs, jei pirmosios pusės yra vienodai panašios į antrosios pusės puses. Kursai, kurie skiriasi tik kvadrato sukimu arba atspindžiu, skaičiuojami kaip vienas.


Užuomina

Trys stačiakampiai yra mažai, todėl galite rūšiuoti jų buvimo vietą aikštėje ir patikrinti, ar stačiakampiai gali būti panašūs kiekvienu atveju.


Sprendimas

Jei truputį sukite kvadrato dalis į tris stačiakampius, kad suprastumėte, kaip juos visai galima įdėti, galite greitai padaryti išvadą, kad yra tik du skirtingi atvejai (iki aikštės posūkių). Tiesą sakant, viršutinėje kvadratinės pusės pusėje gali prisijungti trys, du ar vienas stačiakampis. Jei yra trys iš jų, tada konfigūracija, parodyta fig. 1 paliko. Jei du, tuomet – konfigūracija, parodyta šiame paveikslėlyje dešinėje. Jei tik vienas stačiakampis yra greta viršutinės pusės, kiti du yra po juo, o jų bendra pusė yra arba horizontali (ir tada ji yra tokia pati kaip pirmoji konfigūracija), arba vertikali (tada ji yra tokia pati kaip antroji konfigūracija).

Pav. 1.

Apie pirmąją konfigūraciją iš karto aišku, kad visi trys stačiakampiai yra vienodi: pagal sąlygą jie turi būti panašūs, tačiau iš tvarkos paaiškėja, kad jie yra vienodiapiegeros pusės.

Suprasime antrąją konfigūraciją. Mes apsvarstysime orientacija stačiakampis yra jo ilgesnės pusės kryptis (akivaizdu, kad mes turime tik pailgias stačiakampius, kurių ilgis vienoje pusėje yra didesnis). Kaip gali būti orientuoti du didžiausi stačiakampiai?

Jie negali būti tiek vertikalūs (kaip parodyta 1 pav.), Nes tada jie bus vienodi (bapiedidžiosios pusės yra tos pačios), todėl didesnės pusės santykis su mažesniu yra mažesnis nei 2 (nes mažesnė pusė yra pusė kvadrato pusės, o didesnė yra ne didesnė už visą kvadrato pusę). Apatiniame stačiakampyje šis santykis bus didesnis nei 2. Todėl jis negali būti panašus į viršutinį.

Jie gali būti horizontalūs (2 pav., Kairėje). Tada du viršutiniai stačiakampiai vėl lygūs ir juos lengva apskaičiuoti, kad visi trys stačiakampiai būtų panašūs, todėl kiekvienos pusės turi laikytis vienos kitos kaip 3: 2.

Pav. 2

Galiausiai gali būti, kad vienas iš viršutinių stačiakampių yra horizontalus, o antrasis – vertikalus? Patikrinkite. Ši situacija parodyta paveiksle 2 dešinėje.Įvedame žymėjimą kaip šį skaičių. Atsižvelgiant į stačiakampių panašumą, mes randame:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Kadangi aikštės pusės yra lygios, mes gauname lygybes:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Teisinga lygybė leidžia jums išreikšti y:

\ [y = \ dfrac (1 + x) (x), \]

po kurio lygtis gaunama iš kairiojo lygmens

\ [\ Dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

Jis gali būti perrašytas kaip

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \]

Tai kubinių lygtis vienas realaus šaknų \ (\ rho \ approx1 {,} 3247 \ ldots \), taip, kad toks atvejis įvyksta. Taigi yra trys būdai, kaip supjaustyti kvadratą į panašius stačiakampius.


Po žodžio

Kadangi tikslių sprendimų formulės yra žinomos dėl kubinių lygčių, mes galime būti tikri, kad yra šaknis ir jis yra vienas. Radikaluose šis numeris parašomas taip:

\ [\ Rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] 108-12 {\ sqrt %}} %. \]

Tai taip pat gali būti parašyta kaip begalinė radikalų sekos forma:

\ [\ Rho = \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \]

Įdomu tai, kad šis skaičius turi savo "vardą": olandų architektas (ir ne visą darbo vienuolis) Hansas van der Laan (Hans van der Laan) pavadino jį plastiko numeris (plastiko numeris). Van der Laanas nesukūrė labai daug pastatų ir dažniausiai tai buvo bažnyčios, tačiau jo teorinis darbas turėjo tam tikrą svarbą. Visų pirma jis sukūrė darnių santykių tarp pastato elementų teoriją,kuriame plastikinis numeris vaidino pagrindinį vaidmenį.

Pav. 3 Hanso van der Laano sukurti pastatai. Kairėje: Benediktinų vienuolynas Tumelyje, Švedijoje. Dešinėje: Apaštalo vidus Mastrichte, Nyderlanduose. Nuotraukos iš svetainės divisare.com

Toks jo idėjos vardas atspindi tai, kad šiam skaičiui gali būti suteikta geometrinė "forma". Susidūrėme su vienu pavyzdžiu tokios formos problema. Kitas pavyzdys kyla taip. Tarkime, kad egzistuoja neribotas įvairių dydžių dėžės (stačiakampiai paraleliniai burlaivai) su visais ilgio šonais. Pradėkime nuo 1 × 1 × 1 dėžutės, pridėkite kitą tokį langelį prie dėžutės šono – gauname 2 × 1 × 1 langelį. Prie to pritvirtiname priekyje, kad gautume 2 × 2 × 1 dėžutę. Pridėkite 2 × 2 × 2 dėžutę apačioje, kad sukurtumėte 2 × 2 × 3 langelį. Tada turėtumėte tęsti taip: įdėkite naujus langelius pakaitomis iš šono, priekio, apačioje ir pasirinkite jų dydį, kad du matmenys (tai matmenys veidui, prie kurio pritvirtintas kitas dėžutė) sutampa su dabartinio dėžutės matavimais, o trečiasis matmuo yra tai, ką jis pasikeitė matavimo du "juda" anksčiau. Pirmieji žingsniai parodyta 4 paveiksle.Pavyzdžiui, penktasis "judėjimas" dešinėje yra dėžutė su 2 × 2 × 3, o jos "ilgis" (matavimas išilgai šiame paveikslėlyje esančių rodyklių) yra 2, nes du juda prieš dėžutę pasirodo "plotis" lygus 2 (tai yra dešinė laukelis viršutinėje eilutėje).

Pav. 4 "Plastiko" dėžutės kūrimas. Paveikslas iš V straipsnio V. De Spinadel, A. R. Buitrago link van der Laano plastiko numerio plokštumoje

Jei tęsite šį procesą, langelių dydis natūraliai didės. Tačiau jų pusių ("gretimų" ilgis, kaip parodyta 4 pav.) Santykiai turi ribinę ribą, kuri yra plastiko numeris.

Šio pagrindo idėja yra tokia. Atkreipkite dėmesį, kad dėžutės dydžiai yra trys gretimų skaičių iš sekos 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16 … Jei mes pažymime nšios sekos narys Pntada ne n > 3 palaiko lygybę Pn = Pn−2 + Pn−3. Tiksliau, šis tiesinis pasikartojimo santykis apibrėžia šią sekvenciją, kuri vadinama Padovanos seka. Pasirodo, kad galima pasireikšti bendrą periodą pasikartojančios sekos per savo polinomo šaknis. Šiems saitams galite sužinoti daugiau apie šią temą, dabar svarbu tik tai, kad ši seka būdingas polinomas yra: \ (x ^ 3-x-1 \), o jo tikrasis šaknis, kaip žinome, yra plastikinis numeris ρ. Todėl, beje, šio skaičiaus galių seka yra 1, ρ, ρ2, ρ3, … atitinka tą patį pasikartojimo santykį (šis stebėjimas iš tiesų lemia nuoseklumo termino išreiškimo metodą per daugiašalio šaknų). Šis polinomas turi dvi sudėtingas šaknis. Jei jie yra pažymėti q ir s, tada su kai kuriomis konstantomis a, b, c lygybė Pn = n + bqn + csn bus tiesa su visais natūraliais n. Tačiau nuo sudėtingų šaknų q ir s modulis mažesnis nei 1, jų laipsniai didėja n.

Šia prasme Padovanų sekos plastmasinis numeris yra tas pats kaip ir kitas (ir daug labiau žinomas) "architektūrinis" skaičius – auksinė dalis – Fibonacci sekos (ir sidabrinės dalies Pell skaičių).

Plačiau apie plastikinių numerių savybes galima rasti straipsnyje V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago "Van der Laan" link. Plastiko numeris plokštumoje.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: