Tikslus pozicionavimas • Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementai" • Matematika, fizika

Tiksli padėtis

Užduotis

Daugelis yra susipažinę su palydovinės navigacijos sistemomis. Žinomiausi – Rusijos GLONASS ir Amerikos GPS – dabar naudojami beveik visur automobilių navigacijose ir išmaniuosiuose telefonuose. Apskritai, šių sistemų veikimas yra toks. Palydovų šeimą koordinuoja antžeminės valdymo centrai, kad kiekvienas palydovas "žino" savo poziciją ir kad laikas jiems būtų sinchronizuotas. Palydovai nuolat perduoda šiuos duomenis (erdvines koordinates ir laiką) į Žemę, o naudotojo įrenginiai jį perima ir bando apskaičiuoti jų koordinates realiuoju laiku.

Pasakyk man tokią supaprastintą schemą kiek ar palydovai tuo pačiu metu turi "matyti" vartotojo imtuvą, kad tiksliai (tarkim, esant 20 m klaidai) būtų nustatyta jų padėtis?


Užuomina

Imtuvo užduotis yra apskaičiuoti jo koordinates pagal duomenis, gautus iš palydovų. Koordinatės yra trys erdviniai kintamieji, todėl jų nustatymui reikalinga bent trijų lygčių sistema (ty reikalingi bent trijų palydovų duomenys). Pagalvokite, kaip šias lygtis galima gauti supaprastintoje situacijoje, ir dėl kokios techninės priežasties trims lygtims iš tiesų nepakanka.


Sprendimas

Taigi, vartotojo imtuvas – sakykim, navigatorius – gauna iš kiekvieno palydovo signalą, kuriame yra trys palydovo erdvinės koordinatės ir šio signalo siuntimo laikas. Šie duomenys yra pakankami, kad išreikšti atstumą nuo palydovo navigatoriui dviem būdais ir gauti reikiamas lygtis.

Jei reikalaujamos navigatoriaus koordinatės (x, y, z) ir palydovo koordinates (xs, ys, zs), tuomet, pagal Pitagoro teoremą, atstumas tarp jų yra

\ (\ sqrt ((x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2) \).

Palydovo signalas skleidžia šviesos greitį. su, taigi, jei jis buvo išleistas tam tikru metu t0, kurį šiuo metu gavo navigatorius t1tada tas pats atstumas lygus c(t1t0) Tai suteikia lygtį. Trijų palydovų duomenys leidžia jums sukurti tris lygtis trims nežinomoms sistemoms (x, y, z) Kas yra sugautas?

Tas faktas, kad nežinomas yra ne iš trijų, o iš keturių, nes negalima tikėtis, kad navigatorius greičiausiai laikosi. Pavyzdžiui, dešimties tūkstančių procentų paklaida – kai, vietoj vienos sekundės, laikrodis ima 1.000001 sekundes, o tik maždaug du su puse papildomų sekundžių per mėnesį – nustatant atstumą iki palydovo bus klaida apie 20 metrų.Įprastuose laikrodžiuose treniruotės tikslumas yra kelis kartus mažesnis, o klaida dauginama. Todėl į skaičiavimus įtraukiamas dar vienas nežinomas – imtuvo laikrodžio klaida. Dėl to reikia kitos lygties, o tai reiškia, kad turi būti bent keturi palydovai.


Po žodžio

Iš tiesų veikiančiose palydovinės navigacijos sistemose viskas, žinoma, yra daug sudėtingesnė. Skaičiuojant navigatoriaus koordinates daugeliu atžvilgių atsižvelgiama į daugybę veiksnių, įvedančių klaidų nustatant tikslią padėtį: tai yra problemos, nustatant pačių palydovų padėtį, atmosferos įvestus signalo iškraipymus ir netgi reliatyvizmo efektus. Detali diskusija apie šias problemas pateikta straipsnyje "Global Positioning System" Klaidų analizė, taip pat jame nurodyta literatūra.

"GLONASS" palydovai yra apskritimo oretuose, kurių aukštis yra 19 400 km. Dabar palydovai yra 27 palydovai, iš kurių 24 yra naudojami pagal numatytą paskirtį (dar dvi yra atsarginės, o kitas – bandymo etape). Kaip matyti iš paveikslo, palydovų orbitai skirstomi į tris šeimynes.

"GLONASS" sistemos palydovų orbitai (mėlynos linijos) Paskirstomi patys palydovai raudoni taškai. Pilki taškai – kiti palydovai.Matoma, kad Žemė yra apsupta "daugybe palydovų, esančių netoli Žemės," debesis ", taip pat žiūrima geostacionariosios orbitos palydovų šeima. Vaizdas iš stuffin.space

Kyla toks klausimas: koks yra mažiausias palydovų skaičius, reikalingas visiškam Žemės aprėpimui užtikrinti, kad bet kuriuo metu būtų matomi keturi palydovai, matomi iš bet kokio paviršiaus taško? Žinoma, čia reikia nedelsiant atlikti daugybę supaprastinimų, kad užduotis būtų grynai geometrinė (tiesa, geometrija čia yra sferinė): Žemė turėtų būti laikoma sfera, orbitai – apskritimai, kurių centrai sutampa su sferos centru, vienos šeimos orbitai – sutampa. Ar įmanoma, nesikreipiant į kompiuterį, kad būtų galima tiksliai apskaičiuoti minimalų palydovų skaičių?

Remiantis problemos autorių skaičiavimais, teoriškai GLONASS gali pakakti 18 palydovų. Jei kas nors iš skaitytojų gaus mažesnį reitingą gana paprastu būdu (be kompiuterio pagalbos), mes mielai sužinotume. Apskritai, argumentai yra tokie. Tegul šeši palydovai reguliariai rodomi palei pusiaujo orbitą, kurio spindulys yra 25 800 km. Tada galima apskaičiuoti, kad maždaug 60 ° platumoje visada matomi bent du palydovai.

Tiesą sakant, tokios orbitos palydovas gali būti matomas iš sferinio apskritimo su spinduliu

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm (arcsin) \ left (\ frac R (r_s) \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \),

kur R = 6400 km yra Žemės spindulys, ir rs = 25 800 km – palydovo orbitos spindulys. Žodis "spindulys" (ir kitos nuorodos į ilgį) reiškia sferinį spindulį, tai yra didelio rato rutulio lanko matmuo. Kai palydovai yra tolygiai paskirstyti orbitoje, atitinkamų apskritimų (matomumo sritys) centrai yra lygiagreti 60 ° vienas nuo kito. Jei mes atkreipiame tris tokius sekančius ratus, aišku, kad virš vidurinio vidurio yra zona, kurioje matoma tik viena palydovė. Apatinis šios zonos taškas yra apskritimų, esančių šalia vidurio, sankirtos taškas. Todėl didžiausia zona, iš kurios bent du palydovus mato, yra sferinio trikampio su šonais aukštis (2π / 3, α, α). Aukštį galima rasti Napier'o formulėse, nes jis padalija šį trikampį į dvi lygias ir formuoja lygiagretųjį kampą.

Taigi kiekvienai orbitai yra dvi sferinės "dangteliai", kurių spindulys yra mažesnis nei 30 °, kur mažiausiai du palydovai ne visada matomi. Trys tokie "dangteliai" lengvai gali būti dedami į puslankį be sankryžų: galite ištisą ratą išilgai didelio rato, einančio per polius.Jie nebus nuskaityti virš pusrutulio, nes kiekvieno "dangtelio" centrinis kampas "sprendimas" yra mažesnis nei 60 °, t. Y. Visi trys "dangteliai" tinka 180 °. Kai jie bus tokiu būdu parinkti, atitinkami trys orbitai su šešiais palydovais kiekvienoje padengs visą Žemę, o iš kiekvieno žemės paviršiaus taško visada bus matomi keturi palydovai. Galų gale, jei esame viduje "dangteliu", priklausančiai bet kuriai orbitai, tada mes esame už dviejų kitų "dangtelių", o kiekviename iš atitinkamų dviejų orbitų visada matome bent du palydovus.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: