Taškai ir linijos • Nikolajus Avilovas • "Elementų" populiariosios mokslo problemos • Matematika

Taškai ir tiesūs

Užduotis

Kadangi mes mokomės mokykloje geometrijos pamokose, per du skirtingus taškus, galima išskirti tik vieną tiesią liniją. Mes galime pasakyti, kad pora taškų apibrėžia unikalią eilutę. Bet jei yra daugiau taškų, tuomet nustatytų eilučių skaičius gali būti skirtingas. Pavyzdžiui, priklausomai nuo jo vietos, trys taškai gali apibrėžti tris tiesias linijas (jei tie taškai yra neišsirengusio trikampio viršūnės) arba viena tiesa (jei šie taškai yra lygiarūšiai, ty jie yra vienoje tiesiojoje eilutėje). Jei yra dar daugiau taškų, tada yra daugiau galimybių jų tarpusavio susitarimui, todėl atsakymai į klausimą "kiek tiesioginių šių nustato n Bus daug taškų ". Tačiau ši užduotis siūloma spręsti konkrečias taškų konfigūracijas, o vėliau keletą bendrų klausimų.

Pav. 1

a) Ratintame popieriuje mes paimame kvadratą su penkių ląstelių pusėmis ir pažymi visus taškus viduje ir jo krašte – mes gauname 36 taškus 6 × 6 kvadratinių grotelių pavidalu (1 pav.). Kiek tiesiogiai nustatyti šiuos taškus? O jei 64 taškai (8 x 8 tinklelio formos)?

b) Reguliuojamo tetraedro kraštų ilgis yra lygus 4. Kiekviename iš jų yra pažymėti trys taškai, dalijantys kraštą į vienetų segmentus. Taip pat pažymėtos tetraedro viršūnės. Kiek linijos apibrėžia visus pažymėtus taškus?


Užuomina

Pabandykite skaičiuoti linijas, kurias apibrėžia mažesnis taškų skaičius – 4, 9 ar 16 taškų. Jei atsakymai yra 6, 20 ir 62 tiesiai, tuomet esate teisingame kelyje.

Pagrindinis sunkumas yra tai, kad kai kurios tiesios linijos eina tik per du pažymėtus taškus, o kai kurie – per tris ar daugiau pažymėtų taškų. Spręsdamas problemą, svarbu organizuoti tiesioginio skaičiavimo sistemą.


Sprendimas

Mes suskaidome visas tiesias linijas į nesuderintas lygiagrečių linijų klases. Tiesios linijos su vienu nuolydžiu patenka į kiekvieną klasę. k.

Pav. 2 Kai kurios lygiagrečių linijų klasės

Pav. 2 parodyta keletas eilučių klasių. Jų kampiniai koeficientai, išskyrus 0 ir 1, yra visi įmanomi irreducible teisingos frakcijos, kurių vardiklis yra ne daugiau kaip 5. Norėdami gauti visas klases apskritai, turite atsižvelgti į simetrijos paveikslėlį. Taigi skaičiuojant, – ir skaičius, kuriuos paliko pridėti, – eilučių skaičius klasėse su k = 0 ir k = 1 turi būti padvigubintas, o kitose klasėse – keturis kartus. Rezultatas yra 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 eilučių.

Panašus 64 taškų skaičiavimas bus 938 eilutės.

Dabar turime spręsti tetraedrą. Šią problemą galima nedelsiant apsvarstyti bendrai. Tegul tetraedro rėmas su ilgio kraštu m padalintas taškais į atskirus segmentus.Kiek skirtingų tiesių linijų apibrėžia tie taškai ir pačios tetraedro viršūnės?

Tetraedras turi 4 viršūnių ir 6 kraštus. Kartu su viršūnėmis ir dalijimosi taškais tetraedro sistemoje pažymėti 4 + 6 (m − 1) = 6m – 2 taškai. Jei visi šie taškai būtų bendrojoje pozicijoje (ty, trys iš jų nestokosi vienoje eilutėje), tada jie apibrėžtų (6m − 2)(6m − 3)/2 = (3m − 1)(6m – 3) tiesios linijos (nes jei taškai yra bendrojoje pozicijoje, bet kurie du iš jų apibrėžia savo tiesią liniją). Dabar turime atsižvelgti į tai, kad ant kiekvieno tetraedro krašto pažymėtas m +1 taškas netinkamas. Jei šie klausimai būtų bendrai pozicijoje, jie būtų apibrėžti m(m + 1) / 2 tiesios linijos. Bet visos šios eilutės sutampa – tai linija, kurioje yra nurodytas tetraedro kraštas. Taigi bendras nurodytų taškų skaičius yra (3m − 1)(6m − 3) − 6·m(m + 1) / 2 + 6. Po paprastinimo gauname 15m2 − 18m + 9 tiesios linijos. Mūsų užduotis m = 4, todėl atsakymas yra 177 eilutės.


Po žodžio

Jei taikysime motyvus, kuriuos mes naudojome atsakydami į pirmąjį problemos klausimą, mes galime rasti atsakymus iš kitų kvadratų n2 taškai. Čia jie yra n nuo 2 iki 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Ši seka yra įtraukta į internetinę enciklopediją iš sveikų skaičių sekų numeriu A018808.

Ar yra gana paprasta formulė numerio išreikšti N tokios linijos savavališkai n? Pabandykime ieškoti jos.

Mes naudojamės dviem žinomais faktais pagal paplitimo geometriją.

1) Jei plokštumoje pažymėkite k nurodo bendrą padėtį (prisiminkite, kad tai reiškia, kad trys iš šių taškų nėra vienoje tiesiojoje eilutėje), tuomet skirtingų tiesių linijų, apibrėžtų šiais taškais, skaičius yra lygus k(k − 1)/2.

Mes šį teiginį panaudojome tirpale, ir tai lengva įrodyti indukcija.

2) Jei plokštumoje pažymėkite k taškai, kurie nėra toje pačioje eilutėje, tada jie bent jau apibrėžia k skirtingos tiesios linijos.

Antrasis teiginys skamba gana akivaizdžiai, tačiau pirmą kartą jis buvo įrodytas tik XX a. Viduryje ir dabar žinomas kaip de Bruin-Erdöos teorema.

Remdamiesi šiomis dviem savybėmis galite apskaičiuoti numerį N(n) Naudodami antrąjį faktą, mes gauname apatinę ribą: N(n) ≥ n2. Naudodamiesi pirmuoju faktu, gauname viršutinę įvertinimą: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 yra nustatytų linijų skaičius n2 bendrosios pozicijos taškai.

Tai reiškia, kad jei yra formulė N (n) iš daugiašio formos n, – ir tai tikriausiai yra paprasčiausias formos formulė, – šis polinomas gali turėti tik 2, 3 ar 4 laipsnių. Pirmųjų pirmųjų verčių naudojimas N, naudojant neapibrėžtų koeficientų metodą, galima parodyti, kad tokio polinomo forma nėra formulės.

Pabandykime išbandyti kitą požiūrį ir apibendrinti linijų skaičiavimo metodą dalijant lygiagrečias klases į klases. Kiekviena klasė apima visas lygiagrečias linijas su kampiniu koeficientu k = a/b (toliau frazes yra reguliariai nepadedamos).

Kadangi bet kokia plokštumos linija yra unikaliai nustatyta kampinio koeficiento ir vieno taško, kiekvienai klasei su k = a/b taškinėje aikštėje pasirinkite taškus, kurie apibrėžia visas šios klasės eilutes. Šiuo atveju galimi du atvejai:
1) jei b < n/ 2, tada taškai, apibūdinantys visas tiesias linijas su kampiniu koeficientu a/b, yra viduje mėlyna ir žalia stačiakampių, parodytų kairėje, pav. 3, ir jų b·(na) + a·(n − 2b) = n·(a + b) − 3ab;
2) jei bn/ 2, tada taškai, apibūdinantys visas tiesias linijas su kampiniu koeficientu a/b, yra viduje mėlyname stačiakampyje, pavaizduotame dešinėje fig. 3, ir jie (na) (nb).

Pav. 3 Taškai, kurių pagalba galite nustatyti visas linijas iš tam tikros klasės 100 taškų kvadratu. Kairysis pavyzdys k = 2/3, dešinėje – už k = 2/7

Skaičius N(a/ba) tiesiosios linijos c klasėje k = a/b lygus pasirinktų taškų skaičiui ir apskaičiuojamas pagal anksčiau pateiktas formules.

Todėl numeris N(nvisi tiesioginiai, pateikti n2 taškai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

\ [N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ limits_ (b = 2) ^ (n-1) \ sum \ limits_ (a = 1) ^ (b-1) N \ left (\ frac ab \ right) \]

kur N0 = n – horizontalių linijų skaičius N1 = 2n – 3linijų, lygiagrečių kvadrato įstriža, skaičius. Šią formulę lengva užprogramuoti ir patikrinti, ar rezultatai atitinka.

Taip pat galima gauti pasikartojimų santykius dėl tiesių linijų skaičiaus, nustatytų dantų kvadratais, tačiau jie taip pat pasirodo gana sudėtingi. Išsamesnės informacijos ieškokite straipsnyje S. Mustonen, 2009. Apie linijas ir jų sankirtos taškus.

Argumentai, kurie buvo pateikti už teisingą tetraedro tirpalą, yra bet kokio išgaubto daugiapakopio poligrando, kuriame visi kraštai yra vieni kitiems. Tiesą sakant, jokios konkrečios tetraedro savybės niekur nebuvo naudojamos, buvo atsižvelgta tik į jo viršūnių ir kraštų skaičių. Taigi argumentai pakartojami beveik žodžiu.

Tegul tapsiu daugiakampiu B viršūnės ir P šonkauliai. Kartu su viršūnėmis ir dalijimosi taškais pažymėtos polygardo rėmeliu In + R(m – 1) taškai. Jei visi šie taškai būtų bendrojoje pozicijoje, jie apibrėžtų \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) eilutes. Bet kiekviename poligrando krašte pažymėtas (m + 1) taškas, kuris, jei jie būtų bendrai pozicijoje, nustatytų m(m + 1) / 2 tiesios linijos, bet vietoj to jie apibrėžia tik vieną tiesią liniją, kurioje yra kraštas. Tai reiškia, kad visi jie turi būti atimami iš bendro skaičiaus ir turi būti pridėta eilučių su kraštais skaičius. Gaukite

\ [\ dfrac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: