"Kietos" kryptys • Khaidaras Nurligarjevas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementuose" • Matematika

„Sunku“ tilings

Užduotis

Lengvą plytelę padėkite su identiškais trikampiais plytelėmis (1 pav., Kairėn). Tokia schema tinka bet kokiam trikampiui. Galima sakyti, kad ši plytelė yra "nelanksti" ta prasme, kad jei mes truputį pakeisime trikampių proporcijas (jos vis tiek turi būti vienodos), tada vėl gausime plokštės plyteles pagal šią schemą (1 pav., Dešinėje).

Pav. 1.

Bet tai vyksta kitaip. Pažiūrėk į picą. 2: čia visi trikampiai yra lygūs, tačiau ši schema veikia tik visiškai konkrečioms trikampių proporcijoms. Mes galime pasakyti, kad toks pakrypimas yra "sunkus".

Pav. 2

a) Darant prielaidą, kad visi trikampiai fig. 2 yra lygūs rasti jų kampai ir proporcijos. Įrodyk taikad iš skaičiaus jie yra vienareikšmiai apibrėžti.

b) Ateik su "kieta" plytelių vienodo išgaubto keturkampiai.

c) Ateik su lygus penkiakampius "kietas" plyteles (nebūtinai išgaubtas).


1 patarimas

a) Norint gauti sąlygą, kad trikampio kampai turi atitikti, pakanka naudoti tą faktą, kad kiekvienos viršūnės gretimų kampų suma yra 360 °. Ir ieškant sąlygų šonuose, naudinga atsižvelgti į segmentus, suformuotus iš kelių gretimų trikampių pusių.

Atkreipkite dėmesį, kad kampai ir šonai negali keistis nepriklausomai vienas nuo kito, jie yra tarpusavyje susiję. Be to, santykis tarp kampų ir aspekto santykių yra vienas su vienu. Tiesą sakant, žinant kraštinių santykį, galite nustatyti kampo vertes pagal cosinus teoremą. Žinodamas kampus, jūs galite rasti proporcijų pagal sine teoremą. Taigi, norint išspręsti problemą, pakanka rasti tik dvi lygtis šonuose ar kampuose.


2 patarimas

b), c) Pagrindinė idėja yra tokia. Kad plytelės būtų "griežtos", į ją įtrauktos tos pačios plytelės kopijos turi būti viena su kita susijusios tiek, kiek tik įmanoma. Tada kiekvienas toks metodas duos tam tikrą kampų ir šonų lygtį, o daugiau lygčių – mažiau laisvės laipsnių.

Yra keletas būdų, kaip bandyti pastatyti tokią plytelę, kopijos kurios gali būti taikomos viena kitai įvairiais būdais. Vienas iš jų yra nustatyti tam tikrus apribojimus dėl plytelių. Pvz., Suraskite jį į daugiakampių klasę su lygiagrečiomis pusėmis. Arba tarp plytelių, iš kurių pusių yra lygūs. Gali būti ir gera mintis svarstyti kampus, kurie padalija 360 ° ir yra jų kartotiniai.

Kitas galimas būdas yra pabandyti naudoti jau žinomus tiltingus, pvz., Kaip parodyta fig. 3. Tada turėsite pabandyti padaryti naują plytelę iš kelių plytelių ar plytelių, kurios yra įtrauktos į pradinį grindinį. Ir tik tada iš gautų plytelių egzempliorių sudaryti "kieti" grindiniai, kurių kontūrose bus atspėjamas originalus grindinys.

Pav. 3


Sprendimas

a) Nurodykite trikampio plytelių puses ir kampus, kaip parodyta kairėje, pav. 4. Tada svarstymas segmento, sudaryto iš keturių trikampių pusių (viduryje, 4 pav.), Leidžia mums gauti santykį su šonais: a + c = 2b. Žvelgiant į viršūnę, kurioje sutampa trys trikampiai (4 pav. Dešinėje), mes suprantame, kad 2γ = 180 °. Taigi, γ = 90 °, tai yra, trikampis yra stačiakampis. Taigi, jis atitinka Pihagoros teoremą: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Pav. 4

Dabar, norėdami rasti norimus santykius, gana paprasti skaičiavimai:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Iš čia mes gauname

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % (c) = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % (c) = \ dfrac % %. \]

Atitinkamai, trikampio kampai yra lygūs \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % (c) = \ arcsin \ dfrac (3) (5), \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac (b) (c) = \ arcsin \ dfrac (4) (5), \) \ (\ gamma = 90 ^ (\ circ). \)

b) Apsvarstykite stačiakampį trapecijos formą, sudarytą iš kvadrato ir dešiniojo trikampio, lygus pusei šio kvadrato (5 pav., Kairėn). Šios trapecijos kopijos gali būti pridedamos viena prie kitos įvairiais būdais.Kadangi mes norime, kad gautas grindis būtų "sunku", pradžioje mes turime padaryti tokias konfigūracijas iš nurodytų trapecinių plytelių, kurios vienareikšmiškai apibrėžia šoninius santykius ir trapecijos kampus. Tai lengva pasiekti. Pavyzdžiui, suformuokite keturias plyteles fig. 5, mes pasieksime lygybę γ = δ = 90 ° ir padarę kryžių iš aštuonių plytelių, gauname sąlygą α = 45 °. Jei iš trijų plytelių surinkite figūrą, pavaizduotą fig. 5 dešinėje, tada lygybė 2a = b.

Pav. 5

Akivaizdu, kad jei keturkampis atitinka keturis lygius, tai tikrai yra mūsų stačiakampio trapecija. Todėl bet koks plytelės, kuris atitinka visus pirmiau konfigūracijos, visomis priemonėmis bus "kietas" ta prasme, kad tas pats modelis nebus pasirodyti nustatyti grindinio iš jokios kitos Keturkampis. Yra daugybę panašių tilings; Pavyzdžiui, tokia plytelė parodyta fig. 6

Pav. 6

Atkreipkite dėmesį, kad nors plyteles Fig. 6 pagal mūsų "sunku" apibrėžimą, jis lengvai yra deformuojamas: galite laisvai judėti plyteles,esančios toje pačioje horizontalioje arba vertikalioje eilėje išilgai atitinkamos tiesios linijos. Tai galima išvengti pridedant juos kitu būdu. Pavyzdžiui, kaip parodyta Fig. 7

Pav. 7

c) Šildytuvų širdyje, parodyta fig. 6 ir fig. 7, galite atspėti standartinį parketą kvadratų (3 pav., Dešinėje). Mes parodysime, kaip panašiu būdu galima gauti "kietą vaizdą" nekonvertuotų penkiakampių, naudojant plyteles su reguliariais trikampiais pagrindu (3 pav., Kairėje). Norėdami tai padaryti, paimkite plyteles, sudarytas iš dviejų reguliarių trikampių ir dar dviejų pusių tokių trikampių (8 pav., Kairėn).

Pav. 8

Kaip ir ankstesniame punkte, mes pirmiausia nurodome keturias konfigūracijas, kurios apibrėžia išskirtinę plytelę. Jie parodyta fig. 8. Pirmasis iš jų nustato kampą ε = 90 °. Antrasis leidžia jums parašyti santykį 3γ + 2ε = 360 °, o kampas ε jau nustatytas, mes gauname γ = 60 °. Panašiai trečioji konfigūracija suteikia lygybę α + γ + 3ε = 360 °, iš kur α = 30 °. Galiausiai pastaroji konfigūracija leidžia suprasti, kad β + 2γ = 360 °, tai yra, β = 240 °. Kalbant apie kampą δ, jis nustatomas remiantis tuo, kad penkiakampio kampų suma yra 540 ° ir δ = 120 °.

Pav. 9

Pasirodo, kad tik figūra, parodyta fig. 8, pakanka lygybei b = e = a = d. Todėl pirmiau minėtos keturios konfigūracijos vienareikšmiškai apibrėžia penkiakampes plyteles. Taigi, lieka pateikti plytelių pavyzdį, į kurį įtraukiami visi jie. Konstravimo metu juostelių konstravimo idėja padeda: pirma, su mūsų plytelių kopijomis, mes sukuriame begalinę juostelę, kuri gali būti pritaikyta prie savęs (9 pav.). Tada mes padengsime visą plokštumą tokiomis juostomis (10 pav.). Mes atkreipiame dėmesį į plačią idėją projektuoti juostas: panašia "dryžuota" struktūra turi ir tiltingus, kuriuos mes sukūrėme sprendžiant tašką b)ir apskritai bet koks periodiškas grindinys iš tiesų yra sudarytas iš juostų. Tačiau atvejis neapsiriboja vien tik periodišku svyravimu (kaip matyti, pavyzdžiui, Polamimina Parqueta problema).

Pav. 10

Pavyzdžiui, plytelė nėra išgaubta, tačiau tai nėra būtina sąlyga norint sukurti "kietą plyteles". Apsvarstykite penkiakampę plytelę, pavaizduotą fig. 11 – jis susideda iš kvadrato ir dviejų dešinių trikampių su mažesniu 22,5 ° kampu.Pasirodo, kad tokios plytelės kopijos taip pat gali būti plytelės "kieto kūno" plokštumoje, kaip pavaizduota dešinėje, pav. 11. Tiesa, tai yra šiek tiek sunkiau įrodyti nei "tvirtumo", kurį mes susidūrėme anksčiau. Nepaisant to, leiskite mums apibūdinti pagrindinius šio įrodymo aspektus.

Pav. 11

Visų pirma, iš schemos, pagal kurią plytelės yra sukrauti, aišku, kad pusės patenkina santykius a = e = b ir c = b + d. Kalbant apie kampus, ant jų gali būti sudarytos keturios lygtys, iš kurių aišku, kad α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° ir β + 180 ° = 2γ. Todėl, įvesdami kampą φ = δ / 2, galime išreikšti kitus kampus per jį:

\ [\ alpha = 180 ^ (\ circ) – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ (\ circ) -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ (\ circ) – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Dabar pagrindinė idėja yra tokia. Kad plytelės būtų "kietos", būtina, kad jam trūktų laisvės laipsnių. Šiuo metu mūsų plytelių yra du parametrai, kuriuos mes galime keisti: kampas φ ir vaizdo santykis a ir d. Tačiau šie pakeitimai negali būti savavališki, nes parametrai yra tarpusavyje susiję. Jei, išnagrinėję šio ryšio pobūdį, mes parodome, kad šiai schemai realizuojamas tik galutinis skaičius galimų kampų ir proporcijų santykių, tada iš karto paaiškės, kad norima plytelė yra "kieta".

Įvedame žymėjimą, kaip parodyta apačioje kairėje, pav. 11. Kadangi CDEF – lygiagretė trapezija, tada bazė

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Todėl mes galime rasti segmentų santykį a ir dišreiškiant segmentą Bf pagal cosinus teoremą trikampiuose ABF ir CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ (\ circ) – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformuojant, mes gauname

\ [\ dfrac (d ^ 2) (a ^ 2) = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Kita vertus, mes galime rasti segmentų santykį a ir dišreiškiant segmentą AC pagal cosinus teoremą trikampiuose ABC ir AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ (\ circ) -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Jei \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), tai yra, jei penkiakampis skiriasi nuo mūsų, mes pasiekiame tokią lygybę:

\ [\ dfrac % (a) = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} (\ cos2 \ varphi). \]

Visų pirma, iš čia matome, kad tai įmanoma tik su \ (\ cos2 \ varphi <0 \), ir

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Paskutinė lygtis gali turėti tik ribotą skaičių sprendimų. Taigi aptvaras yra "sunkus".


Po žodžio

Visi aukščiau minėti uždaviniai, kurie yra šios užduotys, iš esmės naudojami vienoje daugiakampėje plytelėje. Mes nukopijavome šią plytelę ir tada padengėme visą lėktuvą kopijomis be spragų ir perdangų. Tokie iškilimai vadinami monohedralir pagrindinis daugiakampis yra protoplitka. Kaip matėme, net nepaisant draudimo naudoti skirtingų tipų plyteles, susidariusi vaizdai buvo labai skirtingi. Daugeliu atvejų šio protoplito tilings pasirodo be galo daug, be to, jų nesuskaičiuojamas skaičius. Tuo pačiu metu, kitų protopliacijų (kaip, tarkim, reguliariai šešiakampiui), plytelės yra unikali, o kai kurie protoplitai neleidžia plyteles.

Būtų natūralu paklausti, kaip pagal tam tikro daugiakampio formą suprasti, ar plokštę galima plyteles kopijuoti. Tačiau algoritmas, leidžiantis atsakyti į šį klausimą, gavęs plytelę prie įėjimo, o išvesties rezultatas, duodamas rezultatą "taip" arba "ne", žmonijai nežinomas. Be to, yra rimtų priežasčių abejoti, kad jis iš esmės egzistuoja. Mes trumpai aptarsime, kas gali trukdyti tai. Tam bus naudinga bent paviršutiniškai susipažinti su tiltingumo simetrijos grupe.

Simetrija Tai plyteles vadina tokiu lėktuvo judesiu, kuris verčia šią plyteles į save. Apytiksliai tariant, jei ilgai atrodysi pakreipus, tada pasisuksitebet kažkas už nugaros perėjo visas plyteles taip, kad, pirma, atstumai tarp plytelių būtų išsaugoti, ir, antra, jūs apsisukate ir negalite rasti skirtumo – tai simetrija. Jei tarp visų plytelių simetrijų yra du netiesioginiai lygiagrečiai vertimai, tada vadinama ši plytelė periodiškas. Pavyzdžiui, Fig. 6, 7, 10 ir 11, ir iš tikrųjų visi tilings, kuriuos mes iki šiol diskutuojame. Tačiau visais šiais pavyzdžiais lengva pertvarkyti plyteles, kad ši nuosavybė nebebūtų tinkama.

Periodiški pakrypimai būdingi vadinamojo pagrindinė sritis – tokia plytelių pogrupis, kad visą grindinį galima gauti lygiagrečiai perkelti šį pogrupį (tai tik mūsų "juostos", kurios buvo paminėtos sprendime). Todėl, bandydamas atsakyti į klausimą, ar galima sumontuoti visą plokštumą su šio protoplicos kopijomis, natūralu veikti taip. Būtina išbandyti visas įmanomas galimybes, sujungiant plyteles viena su kita ir, jei tam tikru momentu atsiranda pagrindinė sritis, yra plytelės.Ir jei mes išvardysime visas parinktis, bet nerandame esminės srities, tada ši proto-plytelė neleidžia plyteles.

Tačiau šis paieškos metodas turi reikšmingą trūkumą. Staiga pasirodė mūsų protoplica aperiodinė, tai yra, visą plokštumą galima pastatyti jo kopijomis, tačiau visi šie tiltingai yra neperiodiniai? Tada niekada nepasieksime visų būdų prisijungti prie plytelių, nes jie gali apimti savavališkai didelį dydį. Tačiau mes taip pat negalėsime rasti pagrindinio ploto, nes nėra periodiško pakreipimo. Taigi mes pereisime prie begalybės galimybių ir niekada nesustokime.

Nesvarbu, ar yra aperiodinių protoplitų, šiuo metu jis nėra žinomas dėl tam tikrų dalykų – šį faktą įtvirtinęs Conway hipotezė dar neįrodyta. Taigi, vis dar yra tikimybė, kad aukščiau pateiktas algoritmas leidžia mums atsakyti į klausimą, ar įmanoma pastatyti grindinį ant šio protoplito arba ne. Tačiau trimačioje erdvėje panaši hipotezė buvo išspręsta teigiamai, taip pat ir Lobachevskio plokštumoje. Be to, mums kainuoja padidinti naudojamų protopliacijų skaičių dviem, nes mes iš karto atrandame aperijinio rinkinio pavyzdį – garsią Penrose mozaiką (12 pav.).

Pav. 12 Penrose mozaika.Vaizdas iš ru.wikipedia.org

Jei nėra aiškumo, ar iš tam tikros plytelės visada įmanoma suprasti, ar jis pripažįsta plokštumos klojimą, ar ne, turėtumėte pabandyti apsvarstyti mažiau bendro atvejį ir nustatyti protoplicos apribojimus. Pirmiausia mes manome, kad visi poligonai, kurie sudaro plyteles, yra išgaubti. Ši sąlyga pasirodo esanti gana stiprus: paaiškėja, kad išgaubtos proto-plytelės, kurios priima plyteles, pusių skaičius neviršija 6. Tačiau čia taip pat yra rimtų sunkumų.

Pav. 13

Lengva įsitikinti, kad visa plokštuma gali būti padengta bet kokio trikampio kopijomis, taip pat su bet kokio keturkampio kopijomis – čia netgi išgaubto būdo nereikia (13 pav.). Tačiau su penkiakampiais viskas nėra taip paprasta. Pentagonų monoederalinių tilingų tyrimas turi turtingą istoriją, ir netgi dabar nėra visiškai tikro, kad ši užduotis yra logiška. Akivaizdu, kad Carl Reinhardas buvo pirmasis, kuris 1918 m. Buvo klasifikuojamas, išskiriant penkių tipų išgaubtus penkiakampius atraminius elementus (14 pav.). Kiekvienam tipui buvo būdinga tam tikra sąlyga sienose ir kampuose, tačiau paliko tam tikrą laisvę – visos šios tiltos buvo "nelanksčios".Po pusės šimtmečio, 1968 m., Richardas Kirchneras informavo pasaulį apie tris kitų tipų atradimus, teigdamas, kad naudojant šias aštuonias rūšis viskas išnaudojama. Tačiau jis neteisingai: 1975 m. Richardas Jamesas, perskaitęs garsiojo populiarintojo mokslo straipsnio Martin Gardner straipsnį, rasta dar vieną tipą. Tačiau per pastaruosius dvejus metus realią permainą padarė namų šeimininkė Marjorie Rice, skaitanti tą patį straipsnį – sugebėjo surasti net keturis naujus monoerodalių tilingų su iškiliais penkiakampiais tipus.

Pav. 14 15 vienpusės tilto plokštumos su penkiakampiais. Paveikslėlis iš forbes.com

Tačiau pasakojimas nepabaigė: keturioliktasis šaligatvis buvo rastas 1985 m. Rolf Steinas – skirtingai nuo visų ankstesnių, jis buvo "sunkus". Praėjus trisdešimt metų tyrėjų grupė, sudaryta iš Casey Manno, Jenifferio MacLeodo ir David von Durey, kompiuterinių skaičiavimų metu atrado penkioliktą šaligatvį, kuris taip pat neturėjo tam tikros laisvės. Pagaliau, 2017 m., Michaelas Rao pateikė įrodymą, kad nėra kitų penkiakampių tilings. Tačiau, norėdamas tai įrodyti, Rao naudojo specialiai parašytą kompiuterinę programą, kuri tam tikroje mokslinės bendruomenės dalyje sukelia tam tikrą skepticizmą, nors ji buvo nepriklausomai atkurta ir patikrinta.

Kitas požiūris į vienmodalių tilings klasifikavimą grindžiamas tuo, kad mes orientuojamės į plytelių savybes, atsižvelgiant į simetrijos grupę. Jei bet kurioms dviem plytelėms, esančioms šaligatvio, yra simetrija, kuri pirmąją plytelę perkelia į antrą, tada toks grindinys yra vadinamas isoederalinis. Apskritai, mes sakome, kad pilingas k-izoederalasjei jo plytelių rinkinys įtrūkęs k klases pagal simetrijos grupę. Pavyzdžiui, Fig. 13 yra izoedrinės, nes kiekviena plytelė gali būti paverčiama bet kuria kita perduodant lygiagrečiai (tokios plytelės dažomos vienos spalvos) arba sukant (tokios plytelės dažomos skirtingomis spalvomis). Ir klostė ant ryžių. 11 jau yra 2-isoederalinis: geltonos spalvos plytelės gali būti paverčiamos viena kitai taip, kad plytelės būtų savarankiškai sujungtos, lygiai kaip mėlynos plytelės gali būti verčiamos viena į kitą, tačiau mėlyna plytelė negali būti išversta į geltoną. Taip pat yra ir kitų talpyklų, kuriuos matėme tirpale k– izofermentas skirtingiems k. Norėdami tai pamatyti, mes juos perraujame taip, kad plyteles būtų galima paversti vienas kito plytelių simetrija tada ir tik tada, jeikai jie yra nudažyti vienos spalvos (kaip buvo su būklės klojimu, kuris, kaip mes dabar suprantame, yra 3-isoederalinis). Po to mes matome, kad vienam iš jų k = 8 (15 pav., Kairėn), antruoju k = 16 (15 pav., Dešinėje) ir trečia k = 10 (15 pav., Žemiau).

Pav. 15

Iškalti poligonai gali būti klasifikuojami iš dviejų pusių. Taigi, viskas yra:

  • 14 isohedralinis grindinio trikampio plytelės,
  • 56 isoderaldinės plytelės su išgaubtos keturkampės plytelėmis,
  • 24 isoederiniai plytelės iš išgaubtų penkiakampių plytelių,
  • 13 isoderginės plytelės su išgaubta šešiakampine plytelėmis.

Iš esmės jie yra "nelaidūs" (kaip parodyta 13 paveiksle pavaizduotose plytelėse). Tačiau kai kurie iš jų per deformaciją nustoja būti izoederaliniai. Tai, pavyzdžiui, plyteles fig. 16: mes galime perkelti horizontaliąsias juosteles viena nuo kitos, bet po to trikampis su horizontalia baze negali būti paverstas trikampiu, kurio bazė yra linkusi simetriškai.

Pav. 16

Klasifikuoti k– isoederalinis tilings su k > 1 taip pat įmanoma. Tačiau, taip pat ir su neaukštomis plytelėmis, tai yra daug sudėtingiau, ir jau yra sunku pastebėti 2-isoederalinio tilingo atvejį dėl didelio šakojimosi galimybių skaičiaus. Ir apie dideles vertybes k mes net nekalbėsime.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: