Sunkiausias baltas nykštukas • Hayk Hakobyan • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementai" • Astronomija

Sunkiausias baltas nykštukas

Pasibaigus jų gyvenimo kelionei, pagrindinės eilės žvaigždės išleidžia didžiąją dalį jų vandenilio tiekimo, dėl kurių vidinis slėgis praranda gebėjimą išlaikyti lukšto gravitacinį suspaudimą (žr. Pagrindinės sekos užduotį). Žvaigždėms, kurių masė yra iki 8 kartų didesnė už Saulės masę, šioje situacijoje gali būti dviejų rezultatų. Pirmuoju atveju branduolys gali sugriauti iki to momento, kai kvantinių degeneruotų elektronų slėgis sustabdo griuvimą, paverčiant branduolį į baltą nykštį. Antruoju atveju, net jei išdegiminių elektronų slėgis dėl didelio medžiagos svorio nesustabdys žlugimo, branduolys dar labiau susitrauks, o esant aukštai temperatūrai ir slėgiui neutronai yra kvantai degeneruoti, kurių slėgis jau subalansuoja žlugimą, susidaro neutroninė žvaigždė.

Pav. 1. Žvaigždės gyvavimo ciklas. Dėl atsitiktinių dujinių dulkių debesies svyravimų gali susidaryti medžiagos storis, kuris palaipsniui didėja. Taigi pasirodo globuliukai. Jei gravitacinio suspaudimo masė yra pakankamai glotbė, tada gali prasidėti žvaigždės formavimo procesas. Gyvenimo pabaigoje pagrindinės sekos žvaigždė virsta raudonuoju milžinu, kurio likimą (tiksliau, mirtį) lemia masė.Nepakankamai masyvios žvaigždės sunaikina neutronines žvaigždes ar baltas nykštukas, o sunkiausios neapsiriboja ir toliau žlugdo į juodąją skylę. Paveikslėlis iš futurism.com

Šioje problemoje siūloma iš pirmųjų principų nustatyti, kokia didžiausia baltojo nykštukinė masė gali būti. Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad žvaigždės energija nustatoma pagal šilumos ir gravitacijos energijos sumą

\ [E_ (\ rm tot) = E_ (\ rm T) – \ frac (GM ^ 2) {R}. \]

Baltojo nykštuolio atveju, kadangi visą priešingą gravitacinį slėgį lemia degeneruoti elektronai, ET – tai elektronų šiluminė energija.

Reliacinės dalelytės energija parašyta taip:

\ [E = \ sqrt (m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2), \]

kur m – dalelių masė, p – jos impulsas. Be to, nereriejusios (lėtai) dalelės E = mc2, kaip tai turėtų būti (kinetinė energija yra įskaičiuojama toliau esančioje skilimo eilėje), ir ultraarelativizmo dalelytė (greita, kurios kinetinė energija yra daug didesnė už likusią energiją), mes turime E = vnt.

Mes manome, kad visi tokio itin sunkiojo baltojo nykštukio elektronai yra ultraelatyvizuoti, tai yra jiems Ee = pec. Tuomet bendra elektronų šiluminė energija bus lygi ET = Npeckur N – elektronų skaičius, ir pe – tam tikra vidutinė kiekvieno iš jų impulso vertė.

Apskaičiuojant vidutinį momentą, mes naudojamės tuo, kad visi elektronai yra išsigimę. Dėl išsigimstančių elektronų, taip pat bet kokių dalelių, turinčių pusę sveikojo skaičiaus nugarinės vertės, taikomas Pauli išskyrimo principas. Du elektronai su vienodai nukreiptais nugaromis negali užimti tos pačios būsenos.

Norėdami suprasti, ką tai reiškia, turite pateikti vadinamąją fazinę erdvę, kai yra tik viena erdvinė koordinatė x. Ši erdvė yra koordinačių plokštuma su ašimis. px ir x. Taškas \ ((p_x ^ 0 (,) ~ x ^ 0) \) tokioje erdvėje reiškia daleles su impulsu \ (p_x ^ 0 \), esančią taške \ (x ^ 0 \) (2 pav.). Trijų erdvinių matmenų fazinė erdvė bus šešių matmenų, kurią jau sunku padaryti.

Pav. 2 Vienos erdvinės koordinatės atveju fazinė erdvė x. Tokioje erdvėje taškas yra dalelė su konkrečia koordinačių ir tam tikru momentu.

Kalbant apie kvantu degeneruojančias daleles, tokia fazinė erdvė yra padalinta į ląsteles, kurių kiekvienas pagal Heisenbergo neapibrėžtumo principą turi tūrį \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (3 pav.). Tik tokie kvantiniai elementai gali būti "įdėti" tik du elektronus (su priešingomis grįžtančiomis grįžtėmis).ir likusius elektronus reikės perkrauti jau kaimyninėse ląstelėse.

Pav. 3 Vienos erdvinės koordinatės fazinė erdvė. Kvantinės išdegiminių dalelių atveju minimalios ląstelės tūris yra \ (\ hbar \) (trimačiu atveju, kaip jūs manote, tai \ (\ hbar ^ 3 \))

Taigi, impulsų erdvėje (pilnos fazės erdvės dalyje) elektronai užims visas ląsteles (du po vieną) iki tam tikro impulso, kuris vadinamas Fermi impulsas pF. Šio impulso tiesiog nėra daugiau elektronų, o po visų ląstelių užima du elektronai (4 pav.). Taigi vidutinis (ar būdingas) elektronų momentas bus tikras pF/2.

Pav. 4 Trimatis impulso plotas. Visos dalelės su pusiau sveikojo spintu užima ląsteles, kurių impulsas neviršija Fermi impulso. Tokios ląstelės sudaro tam tikrą "sferą"

Taigi bendras elektronų skaičius N lygus bendram fazės tūriui (šešiaformėje erdvėje) padalintas iš vieno tokios ląstelės tūrio:

\ [N = 2 \ frac (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z) (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Koeficientas 2 atsirado dėl dviejų elektronų vienoje ląstelėje, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) yra vieno langelio dydis ir \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) – bendras fazinis tūris.

Užduotis

1) Darant prielaidą, kad žvaigždės branduolys yra elektra neutralus ir daugiausia sudarytas iš vandenilio, be visų skaičiaus koeficientų, rasti didžiausia balta nykštukė (Chandrasekhar masė). Išreikškite tai Saulės mases.
2) Atsižvelgiant į elektronus, kurie nėra reliatyvizuoti, rasti didžiausio balto nykščio spindulio priklausomybė nuo jos masės.


1 patarimas

Kadangi žvaigždės klausimas yra elektra neutralus, lengvai galima susieti žvaigždės masę ir elektronų skaičių.


2 patarimas

Pagalvokite apie būklę, pagal kurią žvaigždė bus visiškai pastovi, esant visai energijai. Kokia masė (ar spindulys, jei mes kalbame apie antrąją problemos dalį), ši sąlyga yra pažeista? Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju atsakymas turėtų būti nepriklausomas nuo spindulio.


Sprendimas

Visų pirma, kadangi žvaigždė kaip visuma yra elektra neutrali, elektronų skaičius turėtų būti maždaug lygus protonų skaičiui (iš tikrųjų, žinoma, tai priklauso nuo kompozicijos, bet mes praleidžiame skaitinius koeficientus). Kadangi protonai daugiausia prisideda prie žvaigždės masės, protonų (ir elektronų skaičiaus) skaičius bus N = M/mp.

Šie elektronai turi būti "supakuoti sandariai" pagal Pauli principą į vienetines ląsteles šešiaformėje fazės erdvėje.Kitaip tariant, bendras elektronų skaičius turi būti lygus bendram fazių tūriui, padalintam iš vieneto elemento tūrio (su koeficientu 2, bet mes jį praleidžiame)

\ [N \ sim \ frac ((\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)) {(\ Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)) = \ frac (V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)) (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Vienos ląstelės ląstelė \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), erdvinis tūris \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \) ir "tomas", užimtos dalelėmis impulsų erdvėje, kaip jau minėta aukščiau, yra lygus \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Taigi mes turime

\ [\ frac (M) (m_p) \ sim \ frac (R ^ 3 p_F ^ 3) (\ hbar ^ 3), \]

kur mes tai pastebime

\ [p_F \ sim \ frac (\ hbar M ^ (1/3)) (R m_p ^ (1/3)}. \]

Kaip minėta pirmiau, elektronai turės visus galimus impulsus iki ribinio Fermi impulso. pF, dėl kurių galime jį laikyti būdinga (vidutine) verte. Visa energija bus parašyta kaip

\ ({Fragment (c \ hbar M ^ {4/3}) \ (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ (4/3)} – GM ^ 2 \ dešinėn). \]

Atkreipkite dėmesį, kad visa žvaigždės energija iš tikrųjų priklauso nuo dviejų parametrų – masės M ir spindulys Ro tik masė nustato savo ženklą. Dydis

\ [M_ (\ rm Ch) \ sim \ frac (1) (m_p ^ 2) \ left (\ frac (c \ hbar) (G) \ right) ^ (3/2) \ sim 1 (,) 86 ~ M_ {Sun}, \]

kuri taip pat vadinama Chandrasekhar masė, yra riba tarp neigiamos ir teigiamos visos energijos. Tikslesnis skaičiavimas su realia chemine sudėtimi suteikia reikšmę \ (M_ (\ rm Ch) = 1 (,) 46 ~ M_ (Sun) \).

Tuo \ (M> M _ (\ rm Ch) \) bendra žvaigždės energija yra neigiama ir proporcinga 1 /Rtai reiškia mažesnes vertes R suteiks stabilesnę žvaigždės būseną, į kurią ji sieks. Tai reiškia "begalinį" žlugimą mažesnio spindulio link. Todėl, jei branduolys yra didesnis už šią ribinę masę, jis toliau žlugs.

Tačiau problema yra ta, kad su \ (M <M _ (\ rm Ch) \) bendra energija yra teigiama, ir tai, kaip žinoma, reiškia sistemos išplėtimą, tai yra spindulio didinimas (siekiant sumažinti Ebendra) Tačiau atkreipkite dėmesį, kad \ (p_F \ propto 1 / R \), impulsas Fermi sumažės, kai spindulys padidėja.

Sprendime mes manėme, kad dalelės yra ultraelatyvinės ir jiems \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), tačiau šią prielaidą galima sugadinti pakankamai mažu \ (p_F \ sim m_e c \), ty R > R0kur

\ [R_0 \ sim \ frac (\ hbar M ^ (1/3)) (m_p ^ (1/3) m_e c}. \]

Tada turėsite naudoti kitą formulę šiluminės energijos, būtent \ (E_ (\ rm T) = p_F ^ 2 / 2m_e \), kuri suteiks mums bendrą energiją išraiška

\ [E_ {\ rm tot} \ sim \ frac (\ hbar ^ 2 M ^ (5/3)) (m_p ^ (5/3) m_e R ^ 2) – \ frac (GM ^ 2) {R}. \]

Viso energijos priklausomybė nuo spindulio yra parodyta fig. 5. Kaip matyti, yra stabilus (Ebendra <0) ne mažiau kaip R = RWdį kurią sistema sieks.

Pav. 5 Grafikas apie bendrą baltųjų nykštukų energijos priklausomybę nuo spindulio (\ (MR < R0 elektronai yra ultraelatyvizuoti ir priklausomybė atvirkščiai proporcingi spinduliui. Tuo R > R0 Priklausomybė yra šiek tiek sudėtingesnė ir turi mažiausiai energijos. Grafikas iš S. S. Beskino knygos "Kvantinė mechanika ir astrofizika"

Jūs galite lengvai rasti šį minimumą (nuo Ebendra yra kvadratinis manekenas, lyginant su 1 / R):

\ [R_ (\ rm WD) \ sim \ frac (\ hbar ^ 2) (Gm_p ^ (5/3) m_e M ^ (1/3)). \]

Jei pakeisime Chandrasekaro masę, o ne masę, mes turėsime ką nors 5000 km ilgio dvasia, tai yra, saulės masės žvaigždė yra Žemės dydis.


Po žodžio

Natūralu, kad tokia triviali analizė "ant pirštų" nelaikoma tiksliu kiekybiniu apibūdinimu. Tačiau, keistai, kokybiškai ir net kiekybiškai, kiek įmanoma, atsakymai yra teisingi. Galų gale, iš tikrųjų kai branduolio žlugimas tam tikru momentu, elektronų kvantinis degeneracija "jungiasi".

Jei branduolio masė yra didesnė už Chandrasekhar ribą, šis ultrarelatyvizuotų išdegiminių elektronų slėgis negali sustabdyti suspaudimo ir žvaigždė toliau žlugdo į neutronų žvaigždutę. Priešingu atveju bus nustatytas tam tikras pusiausvyros tarp išnukusių nerereliatyvizmo elektronų slėgis ir gravitacija, kai bus pasiekta minimali bendra energija.

Didžiausia Chandrasekhar masė yra labai praktinio pobūdžio.Pirmosios tipo supernovos (Ia) kyla dvigubo akretavimo sistemose, kai iš masyvios kompanioninės žvaigždės medžiagos prasiskverbia į netoliese esančią baltąjį nykštį. Tokio proceso imitavimas parodytas vaizdo įraše:

Dėl nutekėjusios medžiagos baltojo nykščio masė didėja ir tam tikru metu gali viršyti Chandrasekhar ribą. Tada prasideda kitas žlugimas, ir sistema sprogsta kaip supernova Ia. Atsižvelgiant į tai, kad mes tiksliai žinome, kokia masė yra šis sprogimas (1.44-1.46 saulės masės, priklausomai nuo sudėties ir kitų veiksnių), galime prognozuoti sprogimo energiją ir trukmę.

Teoriškai žinant energiją ir trukmę, galima labai tiksliai nustatyti atstumą iki sprogo viršnova. Dėl to tipo "Ia" supernovos vadinamos "standartinėmis žvakėmis", kurių parametrai iš anksto yra žinomi. Visų pirma, analizuojant labai nutolusius supernovos sprogimus Ia XX a. Pabaigoje, buvo įrodyta, kad mūsų visata plečiasi paspartėjus.

Prieštaravimo pradžioje mes paminėjome, kad antroji "siena" prieš juodąją skylę žlugdančią žvaigždę yra neutroninė žvaigždutė. Jame sugedusių neutronų (taip pat dalelių su pusiau sveikojo nugaros) spaudimas jau sustabdo gravitacinį žvaigždės suspaudimą.Kaip ir baltųjų nykštukų atveju, neutronų žvaigždės turi galutinę masę, vadinamą Tolmano-Oppenheimerio-Volkovo riba, TOV (Tolmano-Oppenheimerio-Volkoffo riba).

Tačiau šios vertės nustatymas reikalauja atsižvelgti į bendrosios reliatyvumo teigiamą poveikį, nes tokios sistemos (apie 10 km) matmenys yra panašūs į Schwarzschildo įvykių horizonto matmenis saulės masės objektui (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3) km). Be to, tokiems dideliems tankiams (arčiau centro esančio neutrono žvaigždės tankis viršija atominio branduolio tankį), reikia labai tiksliai apskaičiuoti stiprius nukleonų sąveiką. Tai labai apsunkina didžiausios TOV masės skaičiavimą, bet manoma, kad tikroji vertė yra tarp 1,5 ir 3 svorio saulės.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: