Šokantys kamuoliai • Hayk Hakobyan • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementai" • Fizika

Šokinėti kamuoliai

Užduotis

a) Krepšinis, kurio skersmuo yra lygus 25 cm (1 pav., Kairėje), teniso kamuoliukas stovi judesiu. Krepšinio masė yra daug didesnė už teniso kamuoliuko masę. Kiek didelis iššokęs teniso kamuolys po žemės pakilimo, jei ši sistema bus paleista iš aukščio h = 1 m (aukštis skaičiuojamas nuo apatinio krepšinio krašto)? Visi susidūrimai gali būti laikomi visiškai elastingais.

Pav. 1.

b) Dabar įsivaizduokite, kad yra visas "bokštas" n rutuliai stovi vienas ant kito, o kiekvienas kitas rutulys yra daug lengvesnis už tą, kuriame jis yra (1 pav., dešinėje). Leisk žemiausio rutulio apatinį kraštą būti aukštyje h nuo žemės, o apatinis krašto apatinis – aukštyje h + l (ir lh). Kiek bokštai turėtų būti bokšte, kad po žemės atsitraukimo viršutinė šokinėja iki 1 km aukščio? Prie kurio n viršutinis rutulys galės palikti Žemės lauką?


Užuomina

Jei susiduria teniso kamuoliukas, krepšinis bus kaip siena. Kitaip tariant, sąveika su teniso kamuoliu neturės įtakos krepšinio judėjimui.

Taip pat galite manyti, kad tarp kamuoliukų yra mažas atstumas, todėl krepšinio susidūrimai su žeme ir kamuoliai tarp jų gali būti nagrinėjami atskirai (tai neturės įtakos atsakymui).


Sprendimas

a) Paimkime paprastumo, kad kamuoliukai iš pradžių neliečia, bet yra maždaug toli vienas nuo kito. Kadangi susidūrimai yra visiškai atsparūs, tai neturės įtakos galutiniam atsakymui.

Prieš pat neliesdami žemę, abu rutuliai nukreipiami žemyn su \ (v = \ sqrt (2gh) \) greičiu. Krepšinis atsispindi nuo žemės ir pradeda judėti aukštyn tuo pačiu greičiu. v, šiuo metu teniso kamuolys vis dar juda žemyn su greičiu v. Krepšinio susidūrimas su teniso kamuoliu yra kaip susidūrimas su siena, krepšinio greitis beveik nepasikeitė.

Atsižvelgiant į krepšinio nuorodą, pamatytume, kad iš pradžių teniso kamuoliukas artėja prie jo 2 greičiuv, tada atsispindėjo ir pradėjo judėti priešinga kryptimi tuo pačiu greičiu 2v. Toks sprendimas gali būti atliekamas tik tada, kai yra sąveikaujančių įstaigų masės labai daug yra skirtingi.

Grįžtant prie laboratorijos atskaitos sistemos, darome išvadą, kad teniso kamuolys po susidūrimo greitis bus 2v + v = 3vnukreipta aukštyn. Taigi jis skrenda iki aukščio

\ [H = d + \ frac ((3v) ^ 2) (2g) = d + 9h = 9 {,} 25 ~ \ text (m). \]

Kaip matote, su sąlyga, kad kamuoliukai labai gana skiriasi ir kad visi susidūrimai yra visiškai elastingi, viršutinis kamuolys bus 9 kartus didesnis nei iš pradžių. 2 pav. Parodomas toks eksperimentas. Dėl įvairių "ne-idealaus" efektų, pavyzdžiui, susidūrimų neplaištumo ir trinties su oru, tikrasis aukštis yra šiek tiek mažesnis.

Pav. 2 Eksperimentuokite su krepšinio ir teniso kamuoliais. Vaizdai iš "Stacked Ball Drop" vaizdo

b) Mes veikiame induktyviai. Leiskite kamuolį Bi pasiekia greitį vi po susidūrimo su ankstesne (viena dešinėje žemiau) kamuolys Bi−1. Koks bus greitis? vi+1 kamuolys Bi+1 pataikęs kamuolį Bi?

Iškart prieš susidūrę su rutuliu Bi+1 mažėja greičiu vir kamuolys Bi judesio greitis vi. Tai reiškia, kad santykinis rutulių greitis prieš susidūrimą yra lygus vi + v. Paaiškinimas yra panašus į pastraipą a), mes nustatome, kad bus išlaikytas santykinis greitis, taigi ir rutulio greitis Bi+1 bus lygus

\ [v_ (i + 1) = (v_i + v) + v_i = 2v_i + v. \]

Naudodami šią pasikartojančią formulę galite gauti greitį noji rutulio išraiška

\ [v_n = (2 ^ n-1) v. \]

Į kamuolį šoktelėjo į aukštį H, jo greitis žemėje turi būti bent \ (v_0 = \ sqrt (2gH) \). Tuo H = 1 km greitis v0 ≈ 140 m / s. Taip v ≈ 4,4 m / s, tada v0/v + 1 ≈ 32.8> 32. Taigi n turi būti ne mažesnis kaip 6. Tai neatsižvelgia į tai, kad viršutinis kamuolys pradeda skristi ne šalia paties žemės, bet iš "bokšto" aukščio, tačiau jį lengva apskaičiuoti, kad penkių kamuoliukų pakaktų, "bokšto" aukštis turi būti apie 75 metrai Paprastai didieji turi būti rutuliai.

Jei mes norime, kad viršutinis rutulys paliktų Žemę, jis turi surinkti bent jau antruosius kosminius greičius (apie 11160 m / s). Labai lengva patikrinti, ar rutuliai 11, tada viršutinio greičio pakilimas yra apie 9007 m / s, o jei yra 12 kamuoliukų, tada greitis yra 18018 m / s.


Po žodžio

Žinoma, gauti skaičiai neturi nieko bendra su realybe. Pirma, mes manome, kad kiekvieno kito rutulio masė yra daug mažesnė už ankstesnės masės masę. Taigi, jei apatinis rutulys sveria 1 kg, o kiekvienas kitas rutulys yra bent 10 kartų lengvesnis, tada n = 5, lengviausias rutulys turės sverti 0,1 g, kuris yra maždaug lygus smėlio grūdų masės. Apie 12 kamuolių net kalbėti.

Mes taip pat manėme, kad kamuolių centrai idealiai sutampa su bendra "bokšto" ašimi, kurią praktikoje beveik neįmanoma įgyvendinti, taigi skraidančių rutulių greitis bus nukreiptas visiškai savavališkai (3 pav.). Atsižvelgiant į tai, gautas rezultatas, žinoma, yra tik grubus matematinis abstrakcija, toli nuo realybės.Nors tai gana aiškiai parodo, kokius absurdiškus fizinius rezultatus galima gauti pernelyg idealiai užduočiai.

Pav. 3 Eksperimentuokite su daugeliu kamuoliukų. Vaizdai iš "Stacked Ball Drop" vaizdo

Išsamiau aptarkite sunkiojo objekto elastingą susidūrimą su lengvuoju. Tuo atveju, kai sunkus objektas (siena) yra judesio, greitis, su kuriuo šviesos kamuolys nukrenta į sieną ir atsitraukia nuo jo, yra vienodi. Tuo atveju, kai siena juda, jums reikia padaryti tą patį apgauti su perėjimu prie sienų atskaitos sistemos, kurią mes padarėme anksčiau: jei siena juda su greičiu tu susitikti su rutuliu vrutulys iššoks nuo jo 2 greičiutu + vgauti dvigubo sienos greitį.

Panašus požiūris yra naudojamas kosminėje misijoje atlikti vadinamąjį gravitacinį manevrą. Kosminis laivas (rutulys) juda greičiu v palyginus su saule, prieš orbitinį planetos judėjimą (sieną), kurio greitis tu. Čia elastingo susidūrimo vaidmenį vaidina gravitacija, kuri keičia laivo judėjimo kryptį į priešingą pusę: planeta "nejaučia" laivo buvimo,ir laivas gaus greitį, lygų dvigubai planetos orbitiniam greičiui.

Pav. 4 Gravitacinis manevras erdvėlaiviais planetoje greičiu v ir tu. Nuotrauka iš ef.engr.utk.edu

Tokie gravitaciniai manevrai (išdėstyti, žinoma, šiek tiek sudėtingesni) naudojami laisvam "kosminio laivo" pagreitinimui. Visų pirma "Cassini" mašina, kuri prieš kelias dienas baigė savo misiją, keturis gravitacinius manevrus važiuodavo į Saturną: du kartus Venusoje, o kartą – Žemėje ir Jupiteryje (taip pat žr. "Cassini Grand Final"). "Voyager-1", pats tolimiausias objektas, kurį sukūrė žmogus iš saulės (dabar 140 AU atstumas), taip pat pagreitėjo gravitaciniais manevrais Jupiteryje ir Saturne.

Pav. 5 Gravitacijos manevro analogas su skirtingomis planetos judėjimo orientacijomis (juodas taškas) ir laivas (mėlynas taškas) Byla (e) – tai yra būtent tai, ką stebėtojas mato planetoje: laivo "atvykimo" ir "išvykimo" greitis yra lygus. Animacija iš en.wikipedia.org


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: