Vieta šuoliai • Konstantinas Knoopas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementai" • Matematika

Šokinėja Wieta

Užduotis

Natūralūs skaičiai a ir b toks, kad a2 + b2 + 1 padalinta iš ab jokių likučių. Įrodyk taitai koeficientas yra 3.


1 patarimas

Viena iš galimų skaičių porų, atitinkančių sąlygą, yra (1, 1), o dar dvi – (1, 2) ir (2, 1). Įsitikinkite, kad visų šių porų koeficientas yra 3.


2 patarimas

Kaip pora (a, b) galite pasiimti du gretimus numerius 1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233 seka … Bandykite atspėti, kaip ši seka suformuota, ir įrodyti šį faktą.


3 patarimas

Pabandykite įrodyti, kad be kitų numerių porų, išvardytų antroje užuominoje, nėra kitų sprendimų.


Sprendimas

Pirma, mes suteikiame "rafinuotą" (ta pačia prasme, kad rafinuoja augalinį aliejų, tai yra, išgrynintas nuo priemaišų), kuris nesinaudoja sakraline informacija, kurią paminėjome instrukcijose.

Tegul \ (k = \ frac (a ^ 2 + b ^ 2 + 1) (ab) \). Jei (ir kodėl ne?) a = b, tada sąlyga yra ta, kad 2a2 + 1 padalinta iš a2. Nuo 2a2 visada padalytas a2tada 1 taip pat turi būti dalijamasis a2iš kur a = 1. Bet su a = b = 1 gauname \ (k = \ frac (1 + 1 + 1) (1) = 3 \), tai yra, šiuo atveju mes viską įrodėme.

Dabar tegul ab. Gali būti atsižvelgiama į bendrumą a bapiedviejų skaitmenų viršuje (t. y. a > b)Mes bandysime surasti kitą natūralių skaičių porą (a ', b '), kuris taip pat tenkins problemos būklę, bet bus mažesnis nei originalas.

Perrašykite lygčių susiejimą a, b ir kkaip a2kab + b2 + 1 = 0. Ir dar geriau suprasti, ką mes ketiname daryti, o ne a parašyk x. Tai kvadratinė lygtis (lyginant su x): \ (x ^ 2-kb \ cdot x + (b ^ 2 + 1) = 0 \). Mes to neišspręsime, bet prisiminkime, kad jo šaknys x1 ir x2 (jei jie egzistuoja!) atitinka "Viet" teoremą:

\ [x_1 + x_2 = kb, \] \ [x_1 \ cdot x_2 = b ^ 2 + 1. \]

Vienas iš šių šaknų mes žinome: x1 = a. Todėl galime sakyti, kad yra antroji root \ (x_2 = kb-a = \ frac (b ^ 2 + 1) (a) \). Pirmoji sąlyga užtikrina, kad x2 yra visa, o antrasis – tai teigiamas dalykas. Tai yra x2 – tai natūralus skaičius.

Taigi numeriai x2 ir b Taip pat patenkina problemos būklę, ty \ (x_2 ^ 2 + b ^ 2 + 1 \) yra padalyta iš x2bir koeficientas yra lygus to paties skaičiaus k. Šiuo atveju, nes mes manėme, kad a > btada \ (x_2 = \ frac (b ^ 2 + 1) (a) \ le \ frac (b ^ 2 + 1) (b + 1) <b \) su b > 1. Tada kaip mažesnę porą galime pasiimti porą (b, x2).

Pasirodo, kad jei b > 1, tuomet Vietos teorema suteikia mums galimybę "iššokti" iš sprendimo (a, b) iki mažesnio sprendimo (a ', b ') = (b, kb a).

Ir kas atsitiks, kai šuoliai mus veda b = 1 (žinoma, nes tai turėtų įvykti anksčiau ar vėliau)?

Tuo b = 1 lygtis bus x2kx + 2 = 0. Kadangi jis turi natūralų šaknis a, ir pagal Viet teoremą šaknų produktas yra 2, tada antras šaknis yra 2 /a. Ir kadangi jis yra lygus sveikasis skaičius katada a turi būti 2 daliklis. Tai suteikia dvi galimybes:

1) jei a = 2, tada 4 – 2k + 2 = 0, iš kur k = 3.
2) jei a = 1, tada 1 – k + 2 = 0, iš kur dar kartą k = 3.

Nes k išliko tas pats dėl visų "šuolių", pagamintų tada k = 3 bet kuriai porai (a, b) Tai yra sprendimo pabaiga.

Ir dabar mes stengsimės suprasti, ką tiksliai mes padarėme ir kaip mes pasiekėme pageidaujamą rezultatą. Dėl instrukcijų buvo žinoma, kad poros skaičių (a, b), atitinkanti problemos būklę, yra viena iš porų (1, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 13), (13, 34), (34, 89) ir tt. Modelis, kuris tiesiogiai nepastebėdavo akių, bet tikriausiai buvo pastebėtas bandant jį išspręsti, atrodo taip: jei pridėsime skirtumą tarp kiekvieno dviejų poros skaičių, mes gauname Fibonacci skaičiai 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, 55, 89, … Šiai sekai labai gerai žinomas santykis, jungiantis tris iš eilės narius: fn+2 = fn + fn+1. Kadangi "mūsų" seka yra Fibonacci skaičiai su lygiais skaičiais, mes galime parašyti pasikartojimo santykį:

(2n + 2) = f_ (2n) + f_ (2n + 1) = f_ (2n) + (f_ (2n) + f_ (2n-1)) = 2f_ (2n) + (f_ (2n) -f_ (2n-2)) = 3f_ (2n) -f_ (2n-2). \]

Iš tiesų, 5 = 3 · 2 – 1, 13 = 3 · 5 – 2, 34 = 3 · 13 – 5 ir tt.

Čia daugiklis 3 yra tas pats, kurį sprendimu pradžioje nurodėme laišku k. Bet mes negalime pasikliauti tuo, ką turime įrodyti, tiesa? Ir čia Vietos teorema ateina į pagalbą, dėl kurios perėjimas iš vieno sprendimo į kitą yra paprasčiausiai su "šuoliu". Kai šokinėjau, mes galime nežinoti, kokia vertė kbet garantuoja, kad pereis nuo didesnio sprendimo į mažesnį, išlaikydama tą pačią vertę. k. Taigi, anksčiau ar vėliau mes pasieksime "mažiausią" sprendimą. Likusi dalis jau yra technikos dalykas.


Po žodžio

Vikipedijos straipsnyje "Vieta šokinėjant" argumentuojama, kad šis problemų sprendimo būdas atsirado tik 1988 m., Atsižvelgiant į Australijos tarptautinei mokyklų olimpiadai pasiūlytą užduotį. Čia yra užduotis:

Tegul a ir b – natūralūs skaičiai, kurių a2 + b2 padalintas ab + 1. Įrodykite, kad šio suskirstymo koeficientas yra tiksli aikštė.

Tai perteikia juokingą istoriją, pirmą kartą aprašytą Arthuro Engelio knygoje "Problemų sprendimo strategijos":

"Nė vienas iš šešių Australijos darbo grupės narių nesugebėjo jį išspręsti.Du iš šių narių buvo György Sekeres ir jo žmona, ir žinomi autoriai, ir problemų sprendimo būdai. Kadangi ši užduotis buvo susijusi su skaičių teorija, ji buvo išsiųsta keturioms žinomiausioms Australijos skaičių teorijos ekspertams. Jiems buvo paprašyta pagalvoti apie užduotį ne ilgiau kaip šešias valandas. Per nustatytą laiką nė vienas iš jų nepavyko. Todėl užduoties komitetas pasiūlė užduotis XXIX Tarptautinės olimpiados žiuri, pažymėdamas ją dviem žvaigždutėmis, o tai reiškia labai didelį sudėtingumą, galbūt pernelyg didelį olimpiadą. Po ilgos diskusijos žiuri nusprendė jį pasirinkti kaip paskutinę, sunkiausią olimpiados užduotį. 11 dalyvių gavo išsamius sprendimus. "

Iš tikrųjų, žinoma, "šuolio" priėmimas buvo žinomas gerokai prieš šią olimpiadą. Konkrečiai, mūsų aptariama problema yra ypatingas atvejis, kai tyrinėjamas gerai žinomas Diophantine-Marko lygtis, kurį pirmą kartą išmatavo žymiausias rusų matematikas Andrejus Andrejevičius Markovas jau XIX amžiuje.

Markovo lygtis yra tokia

\ [a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 3abc. \]

Jei jį įdėjote c = 1, tiksliai parodo lygtį, su kuria mes susidūrėme. Ar lygtis Markovas turi sprendimus, kuriuose c ne lygus 1? Žinoma egzistuoja.Ir skaitytojas jau turi viską, ko reikia juos surasti.

Pav. 1. Apskritimo šeimos pavyzdys yra "Apollonia". Paveikslėlis iš en.wikipedia.org

Kitas įdomus "Place šuolio" idėjos pavyzdys gali būti Apolloniusas – ratą šeima, kurioje kiekvienas susijęs su kitais trimis (1 pav. Žr .: Apolono tarpinė).

Jei mes paimame iš šio šeimos keturias poras susietus ratus, tada jų spinduliai galioja pirmą kartą atrasta žinomo chemikininko (!) Frederiko Soddy formulę:

\ frac1 (r_1 ^ 2) + \ frac1 (r_2 ^ 2) + \ frac1 (r_3 ^ 2) + \ frac1 (r_4 ^ 2) = \ frac12 \ left (\ frac1 (r_1) + \ frac1 (r_2) + \ frac1 (r_3) + \ frac1 (r_4) \ right) ^ 2. \]

Jei vietoj spindulių ri apskritimai įvertina jų kreivumą ki (reikšmės atvirkštos į spindulius), tada sudėtingos frakcijos palieka šią formulę:

\ [k_1 ^ 2 + k_2 ^ 2 + k_3 ^ 2 + k_4 ^ 2 = \ frac12 (k_1 + k_2 + k_3 + k_4) ^ 2. \]

Pavyzdžiui, keturiems didžiuosiuose apskritimuose 1 paveiksle kreivės yra -1, 2, 2 ir 3 (ženklas "minusas" turėjo būti dedamas dėl to, kad liestis yra vidinė). Ir iš to, kaip galima nuspėti, kaip įžvalgus skaitytojas, yra tik pusė žingsnio prieš teiginį, kad kiekvieno apskritimo (begalybės) Apolono rinkinio kreivumas yra sveikasis skaičius, o visi šie skaičiai gali būti gaunami vieni iš kitų naudojant Vietos šuolius.

Markovo lygtis pateikiama puikiai M.G. straipsnyje.Kerina "A.O. Markovo dievomanų lygtis", dėl Apolloniaus fraktalinių rinkinių – C. Millerio studijoje (anglų kalba). Galite rasti gražių užduočių, kurių sprendime naudojamas šuolių būdas čia ir čia.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: