Plytų trikampis • Konstantinas Knoopas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementuose" • Matematika

Plytos trikampis

Užduotis

Statybvietėje pastatyta plytų krūva iš raudonos, geltonos ir pilkos. statybininkai meistras liepė jų darbuotojai klojo trikampio sienos šią taisyklę: už apatinėje eilėje paimta iš krūvos 10 savavališkai plytos, tada kaimyninės plytos vienos spalvos išmūryti tos pačios spalvos, ir spalvingas – plytų likusios spalvos (AN piramidės pavyzdys parodytas paveiksle )

Todėl viršutinėje eilutėje atsiranda tik viena plyta. Brigadierė-matematikas, žvelgdamas į apatinės eilės plytas, visada greitai ir tiksliai atspindi, kokia spalva bus viršutinė plyta. As ar jis tai daro?


1 patarimas

Žinant apačioje esančią eilutę, galite piešti visų šio mūro eilučių nuotrauką (ir padaryti ją greičiau, nei statybininkai turi laiko įdėti). Pažymėk šį metodą kaip nematerialų matematikos (o ne pakankamai greitai).


2 patarimas

Akivaizdu, kad specifinės spalvos nėra svarbios. Vietoj spalvų galite naudoti numerius, pvz., 0, 1 ir 2. Kaip tada bus parašytos "naujos plyties" taisyklės? Akivaizdu, kad identiškais poros pora turi atitikti tą patį: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Įvairių skaičių parama atitinka trečią: (0, 1) → 2 ir t. T.Visos šios atitikties gali būti išrašytos vienoje tabletėje:

012
0021
1210
2102

Ar galima nustatyti šioje lentelėje pateiktas vertes, o ne lentelę, bet kažkaip kitaip? Galite pabandyti. Pavyzdžiui, lentelėje esantys vienetai atitinka poras (0, 2), (1, 1) ir (2, 0) – tuos, kurių skaičių suma lygi 2. Ir du? Jie atitinka poras (0, 1), (1, 0) ir (2, 2) – tuos, kurių suma yra 1 arba 4. Galiausiai nuliai atitinka poras (0, 0), (1, 2) ir (2, 1) – tiems, kurių suma yra lygi 0 arba 3. Šis "arba" šiek tiek painioja: jei nebūtų, pavyzdžiui, jei mes tvirtai žinotume, kad 3 suma atitinka 0, 1 suma atitinka 2, o 2 suma atitinka 1, tada mes tiesiog parašysime atitikmenų formulę: numeris3 = 3 − (numeris1 + numeris2). Dėl to, taisyklė bus šiek tiek sunkesnė: jei dėl to numeris3 nebus tokia, kaip turėtų būti, tuomet gali tekti pridėti 3 ar paimti iš jo 3. Bet tai nėra taip reikšminga. Svarbiausia, kad visais atvejais nustatoma kito plytų spalva pagal sumą spalvos tų plytų, kurie stovi po juo. Pagalvokite, kaip brigadierius galėtų jį naudoti.


Sprendimas

Vietoj formulės "numeris3 = 3 – (numeris1 + numeris2) ", parodyta 2 patarime, mes naudosime paprastesnį:"numeris3 = – (numeris1 + numeris2) ".Galų gale, tai dar rezultatas gali būti būtina pridėti 3 ar -3, todėl gerai, jei mes pridėti / substraction trio darys iš karto, tačiau "žemę".

Tarkime, kad apačioje (10) eilutėje yra plytos, atitinkančios 10 skaičių: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Mūsų formulė leidžia iš karto išspausdinti visą viršutinę (9-ąją) seriją:

(9 eilutė) – (a + b), -(b + c), -(c + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + h), -(h + i), -(i + j).

Bet tada užrašoma ir aštunta eilutė: virš numerių – (a + b) ir – (b + c) turi būti parašytas numeris – (-abbc) = a + 2b + c. Taigi sumažinami dvigubi trūkumai, o aštunta eilutė bus:

(8 eilutė) a + 2b + c, b + 2c + d, c + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + h, g + 2h + i, h + 2i + j.

Mes apsvarstyti toliau. Septintosios eilutės numeriai yra formos – ((a + 2b + c + b + 2c + d) = -(a + 3b + 3c + d) Čia, galbūt, atėjo laikas prisiminti, kad mes sutikome atidėti visus papildymus ir atimti trejetus "už vėliau" ir padaryti tą patį su sąlygomis 3b ir 3c, daugybe 3. Taigi galime manyti, kad pirmasis septintosios eilutės numeris yra lygus – (a + d). Tada visa serija gali būti parašyta taip pat:

(7 eilutė) – (a + d), -(b + e), -(c + f), -(d + g), -(e + h), -(f + i), -(g + j).

Toliau mes turime 6 eilutę, kurioje dar kartą sumažinamas dvigubas minusas:

(6 eilutė) a + b + d + e, b + c + e + f, c + d + f + g, d + e + g + h, e + f + h + i, f + g + i + j.

Per kelias 5 minusas vėl pasirodo (sekite pirmąjį narį, o tada viskas yra tas pats):

(5 eilutė) – (a + 2b + c + d + 2e + f), -(b + 2c + d + e + 2f + g), -(c + 2d + e + f + 2g + h), -(d + 2e + f + g + 2h + i), -(e + 2f + g + h + 2i + j).

4 eilutėje sumažėja tiek minusai, tiek daug terminų, kurių koeficientas 3 pasirodė esantis: vietoj a + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g mes tiesiog paliksime a + 2d + g:

(4 eilutė) a + 2d + g, b + 2e + h, c + 2f + i, d + 2g + j.

Plytos, kartu su jais ir skaičiavimais, tampa vis mažiau:

(3 eilutė) – (a + b + 2d + 2e + g + h), -(b + c + 2e + 2f + h + i), -(c + d + 2f + 2g + i + j);

(2 eilutė) a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i, b + 2c + d + 2e + 4f + 2g + h + 2i + j.

Ir pagaliau plytų viršuje eilutėje:

(1 eilutė) – (a + 3b + 3c + 3d + 6e + 6f + 3g + 3h + 3i + j) = -(a + j).

Ką reiškia šis rezultatas? Tai, kad viršutinės plytos spalva nustatoma iš dviejų spalvų iš apatinės eilės sumos – būtent dviejų ekstremalių plytų spalvų. Be to, tai nustatoma pagal tą pačią taisyklę, pagal kurią statybininkai kiekvieną kitą plytą įdėti: tos pačios dvi spalvos atitinka, o kitos dvi atitinka likusius. Žinoma, brigados-matematikas iš anksto atlikdavo visus šiuos skaičiavimus ir supaprastinimus (iki galutinio rezultato), taigi, pastatydamas plytų trikampį, jis tuoj pat žiūrėjo tik į žemiausios eilės ekstremalius plyteles.


Po žodžio

Aš specialiai bandžiau valdyti pačios primityviosios algebros sprendimą, kad skaitytojas išsaugotų "fokuso-įkandimo" jausmą. Tačiau dabar atėjo laikas suprasti šio dėmesio esmę šiek tiek giliau.

Pirma, tam tikra prasme galite pamiršti apie trūkumus: kaip matėmelinijos su minusais ir be jų tiesiog pakaitomis, kad nuo pat pradžių galėtume suprasti, kad viršutinėje eilutėje bus minusas.

Antra, mūsų naudojamų trikampių santrumpa (pirmą kartą mes padarėme aštuntą eilutę), nors tai sumažina skaičiavimus, ji užgesina esmę. Jei mes to nepadarysime, septintojoje eilutėje matysime formos išraišką a + 4b + 6c + 4d + ekitame – a + 5b + 10c + 10d + 5e + fir tt Šios sumos raidės eina pagal abėcėlę, bet kokios yra numerių 1, 4, 6, 4, 1, tada 1, 5, 10, 10, 5, 1, tada 1, 6, 15, 20, 15, 6 sekos. 1? Kiekvienas, kuris daugiau ar mažiau žino matematikos, atpažins šias sekas Pascalio trikampis:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Šiame trikampyje kiekvienas skaičius yra lygus dviem skaičiams, esantiems vienoje eilutėje aukščiau: tiesiai virš jo ir šalia jo (kairėje). Tiesą sakant, Pascalio trikampio išvaizda čia neturėtų nustebinti; Pavyzdžiui, skaičius 15 yra koeficientas c kalbant apie a + 6b + 15c + 20d + … yra dviejų koeficientų suma su: vienas yra paimtas iš išraiškos a + 5b + 10c + 10d + 5e + fo kitas iš žodžio b + 5c + 10d + 10e + 5f + g. Kitaip tariant, tai yra trečiojo (10) ir antrojo (5) koeficiento iš ankstesnės eilutės suma.

Taigi, mes galime pasiekti reikalingą eilutę. Jo koeficientai – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.Kadangi visi koeficientai, išskyrus du kraštinius vienetus, yra padalinti iš 3, tai suteikia norimą "fokusavimo" rezultatą.

Dabar galite pabandyti imti dar vieną natūralų žingsnį ir užduoti klausimą: kokios žemesnės plytų eilutės ilgio vertės (N) bus toks pat triukas? Mes sužinojome, kas gerai N = 10. Kitas tinkamas N = 4 (mes jau matėme, kad 1 3 3 1 eilutė yra lygi dviejų ekstremalių terminų sumai). Ir kokios vertybės? Šio klausimo matematinis ekvivalentas yra: kokiomis sąlygomis N visi koeficientai (N – 1-oji eilutė Paskalo trikampio, išskyrus paskutinę, pakartotinę iš 3? Šis klausimas yra kur kas sudėtingesnis nei mūsų pirminė problema, tačiau atsakymą į jį galima gauti gana elementariais matematiniais metodais: N – 1 turi būti trijų galių. Kitaip tariant, šiam tikslui tinkama. N lygus 28, tada 82, 244, 730 ir tt Norėdami sužinoti daugiau apie tai, taip pat apibendrinti problemą į skirtingą spalvų skaičių, galite skaityti anglų kalba straipsnyje Erhard Berends ir Steve Humble "Triangular Mysteries" PDF, 552 Kb), išleista antrojo žurnalo numeriu Matematinis žvalgiklis 2013 m. (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: