Turbulencijos skalė • Hayk Hakobyan • Mokslinės-populiarios užduotys "Elementai" • Fizika

Masto turbulencija

Kas atsitiks, jei jūs pilate pieną į kavą ir sumaišykite su šaukštu? Gali atrodyti, kad nieko ypatingo: pienas suskaido į chaotiškas sroves ir palaipsniui ištirpsta į kavą. Tačiau jei žiūrėsite į tai iš fizikos (ir galbūt lėto įrašymo) požiūriu, tada pastebite įdomią savybę: pirma, pieno formos platus (didelio masto) srovės, kurios vėliau suskaidomos į mažesnes ir mažesnes (1 pav.).

Pav. 1. Chaotiškas pieno maišymas su kava. Nuotrauka iš flickr.com

Fizikoje sklandaus (laminarinio) srauto perėjimas į chaotišką ir sutrikdytą srautą vadinamas turbulencija. Turbulentis judėjimas būdingas beveik visoms dujoms ir skysčiui, su kuriais susiduriame kasdieniame gyvenime: tiesa, turbulencija įvyksta visur, kur būdingi kūno greičiai ir dujų / skysčio srautai yra pakankamai dideli, kad trinties jėgos (dėl kurių išsisklaido energija) neatlieka svarbaus vaidmens.

Tai yra tai, kad paprastai yra didelės Reynoldso numerio vertės, kurios bus aptartos "Afterword". Kartais jie net sako, kad mes gyvename didžiųjų Reynoldso skaičių pasaulyje. Priešingai, tarp bakterijų, gyvenančių mažų Reinoldso skaičių pasaulyje, trinties ir atsparumo jėgos vaidina svarbų vaidmenį judėjime.Šiuo klausimu yra puiki Edvardo Purcello paskaita, suprojektuota kaip mažo Reynoldso skaičiaus esė "Gyvenimas". Pavyzdžiui, tai rodo, kad mažų Reynoldso skaičių pasaulyje kūno svoris neturi reikšmės.

Dar XX a. Pradžioje žmonės suvokė, kad skysčių ir dujų turbulentis elgesys būdingas didelių (didelės apimties) srautų "suskaidymu" į mažesnes ir mažesnes – vadinamą turbulentinę kaskadą (2 pav.). Taigi judesio energija, kuri iš pradžių atrodo dideliu mastu (šaukšto judesys, vėjo gūsis) palaipsniui tampa vis mažesnių turbulentinių edvy energijos.

Bet kiek laiko šis kaskadas tęsiasi? Atsakymas į šį klausimą priklauso nuo situacijos. Pradedant nuo tam tikro masto, skysčių / dujų sluoksnių trintis, klampa arba susidūrimai su molekulėmis (arba, jei yra magnetinis laukas, atskirų dalelių užfiksavimas magnetiniu lauku), šiems mažiems sūkurams judėti bus svarbi energijos dalis, t. Y. Jie taps svarbūs. Tada judesio energija tiesiog išsisklaido, patenka į šilumos formą (atskirų dalelių chaotiškas judesys).

Lewisas Richardsonas savo knygoje "Orų prognozavimas skaitmeniniais metodais" (L. F.Richardson, 1922. Oras prognozavimas skaitmeniniu procesu) apibūdino jį su tokiu ketvirčiu:

Dideli sūkuriai turi šiek tiek sūkurių
kad maitina jų greitį,
Ir šiek tiek sūkurys turi mažesnį sūkurį
ir tt klampumas.

Vertimas (pagal A. A. Scheipako knygą "Hidraulika ir hidropneumatinės pavaros. 1 dalis. Skysčių ir dujų mechanikos pagrindai"):

Didelis sūkurys gamina mažus
Spartos energijos sąnaudos
Mažas sūkurys – mažesnis,
Kol klampumas sako: "Pakanka".

Toks energijos perkėlimas į mažas skales yra būdingas trimačiam turbulencijai. Lėktuve kai kuriais atvejais energija gali būti perkelta priešinga kryptimi, tai bus trumpai aprašyta "Afterword".

Toks energetinio turbulentinio perkėlimo (kaskados) kelias iš didelių sūkurių į mažesnes ir mažesnes gali būti aprašytas naudojant energijos spektrą. Pav. 3, jis parodytas logaritminiu mastu. Šiame paveiksle grąžinamoji vertė, bangos numeris, yra naudojamas kaip kintamasis, o ne ilgis k = 1/L, – kartais tai yra patogiau. Energijos spektras parodo, kiek energijos yra skirtingose ​​turbulencijos skalėse (skirtingiems L arba k).

Pav. 3 Logaritminė grafika, rodanti neramios kaskados energetinį spektrą pagal vibracinį skaičių k = 1/L

Energetika plačiai įvesta į sistemą (mažoms k) su tempu (galia) ε (tempo matmuo – energija per laiko vienetą). Pavyzdžiui, energija gali kilti iš šaukšto judesio puodelyje ar rankos bangoje ore. Tada energija pereina į vis mažesnius svyravimus (k padidėja), o tam tikru mastu (grafike tai atitinka vertę d), energija nesiskiria ir neatsiranda į šilumą. Taigi visa energija, kuri įvedama į svarstykles L su tempu ε atsipalaiduoja tam tikru mastu d dėl klampumo.

Tiesą sakant, tai, kad Reinoldso skaičius yra didelis, reiškia, kad būdingos skalės, į kurias energija įvedama į sistemą, yra daug didesnė nei sklaidos skalė: Ld. Pavyzdžiui, atmosferoje tai įvyksta daugelio šimtų kilometrų skalėse (priežastys skiriasi: kaitinimas iš saulės, Žemės sukimas, didelio masto vandens srovės ir tt). Tuo tarpu sklaidos atsiranda dėl oro dalelių (10-100 nm) atstumo skalės. Dėl to oro srauto judėjimas yra labai neramios.

Plotas pagal spektro kreivę E(k) atitinka bendrą energiją, todėl spektro produktas yra bangos skaičius E(kk turi energijos matmenį, o tai reiškia E(k) turi matmenį "energija padauginta iš ilgio".

Nepaisant to, kad vis dar nėra aiškios turbulencijos aprašymo, paaiškėja, kad kreivės forma E(k), tai yra, energijos spektro priklausomybė nuo skalės ir greičio ε gali būti gauta iš gana paprastų sumetimų.

Užduotis

Paprasčiausiu atveju, kai energijos sąnaudos ir sklaidos mastas yra toli vienas kito (Ld), o visos kryptys yra lygiavertės (tai yra, spektras priklauso tik nuo dydžio, bet ne nuo krypties), mes galime manyti, kad ši priklausomybė yra galios įstatymas masto ir tempu. Rasti turbulencija kaskados formos E(k).

Pabandykite išduoti atsakymą dviem būdais: naudodami fizinius argumentus ir naudodami matmenų analizę.


1 patarimas

Antrasis metodas yra gana paprastas: priklausomybė yra galia, o tai reiškia, kad ji parašyta formoje \ (E (k) \ propto \ epsilon ^ (\ alpha) L ^ (\ beta) \) (arba \ (E (k) \ propto \ epsilon ^ {\ alpha} k ^ (- \ beta) \)).


2 patarimas

Pirmajam metodui apskaičiuoti būdingas laikas, per kurį sūkurys bus sunaikintas. Ljei energija yra žinoma sūkuryje (ir ji žinoma iš spektro). Tada apsvarstykite, kokia būdinga energija, išleista tokio sunaikinimo metu, yra lygi.


Sprendimas

Atstovavome energiją formoje \ (E (k) = C \ epsilon ^ (\ alpha) L ^ (\ beta) \), kur C – kai be matmenų konstanta, galite analizuoti išvystytos išraiškos dimensiją. Spektras E(k) turi energijos matmenį, padaugintą iš ilgio, ε – į sistemą įvesta energijos, ty energijos (energijos, padalintos iš laiko), greitis.

Laikas į kairę pusę parodo -2. Dešinėje pusėje laiko matmens dalis yra tik nuo ε kaitos (kuri apima laiko laipsnis 3), todėl mes gauti \ (LT (k) = C \ epsilon ^ {2/3} L ^ {\ beta} \). Dabar turime pasirinkti β, kad laipsniai, su kuriais ilgis įeina į kairę ir dešinę, taip pat sutampa. Lengva parodyti, kad tai įvyksta β = 5/3.

Štai ką atrodo trumpa išvada (energija imama už masę, matmenys parašyti kvadratu):

\ [E (k) = [\ text % ~ \ text (cm)] = [\ text (cm) ^ 3 ~ \ text (c) ^ (-2)] = C \ epsilon ^ (\ alpha) L ^ (\ beta) = [\ text % ^ (\ alpha) ~ \ text % ^ (- \ alpha) ~ \ text (cm) ^ (\ beta)] = [\ text (cm) ^ {2 \ alpha + \ beta} ~ \ text (c) ^ (- 3 \ alpha)], \]

ir lyginant -3α = -2, 2α + β = 3, mes randame α = 2/3, β = 5/3.

Taigi spektras yra išdėstytas taip: \ (E (k) = C \ epsilon ^ (2/3) k ^ (- 5/3) \), kur konstanta C vadinama Kolmogorovo konstanta ir yra lygi maždaug 1,5. Apie šį argumentą ir išvadą padarė Kolmogorovas 1940-aisiais, kurio darbai yra laikomi novatorišku, apibūdinantys neramumus (pavyzdžiui, šis straipsnis).

Šiek tiek kitokios tos pačios formulės išvados galima gauti iš fizinių priežasčių. Įsivaizduokite dydžio spindulį L (arba bangos numeris k) vienos masės.Pagal apibrėžimą, šis sūkurys turi energiją e = E(k)/L (arba E(k)k) Tipišką laiką, kada šis sūkurys sklendės, galima apskaičiuoti kaip τ = L/vkur v – tai greitis, susietas su sūkurinės kinetikos energija: \ (v \ sim \ sqrt (e) \). Taigi, \ (\ tau \ sim L ^ (3/2) E (k) ^ (1/2) \).

Per šį skilimo laiką sūkurys perkels savo energiją į kaskadą į mažesnius sūkurius, o šios energijos perkėlimo greitis turi būti lygus greičiui, kuriuo į sistemą įvedama energija (kitaip ji kažkur susikauptų). Taip

\ [\ frac (e) (\ tau) \ sim \ epsilon, \]

Iš kur mes nustatome, kad \ (E (k) \ sim \ epsilon ^ (2/3) L ^ (5/3) \) (arba \ (E (k) \ sim \ epsilon ^ (2/3) k ^ (-5 / 3) \)).


Po žodžio

Žinoma, iš fizinio požiūrio tai būtent energetinio spektro priklausomybė nuo vėjo skaičiaus (skalės): \ (E (k) \ propto k ^ (- 5/3) \). Kaip panašus į tai, ką mes matome tikrovėje? Jei imsime turbulencingos sistemos ir analizuosime, kiek energijos yra įvairių skalių sūkuriuose, ar mes artimuosi šia priklausomybe?

Atrodo, kad toks paprastas argumentas ir išvados "ant pirštų" negali suteikti bent jau tikėtino rezultato. Tačiau, kaip paaiškėjo, Kolmogorovo spektras stebėtinai gerai apibūdina tai, ką mes iš tiesų matome visiškai skirtinguose fiziniuose kontekstuose.Nuo vėjo sukrėtimo kanaluose ir vamzdžių vandens iki saulės vėjo turbulencijos, plaukiojančios maždaug 500 km / s greičiu, esant magnetiniam laukui (4 pav.) Ir tarpžvaigždinės terpės.

Pav. 4 Kairėje – vėjo tunelio turbulencijos modeliavimas; nuotrauka iš knygos "Vėjo tunelių dizainas" ir jų įvairios inžinerinės programos. Dešinėje – saulės vėjo sukrėtimo matavimai (statmenoje kryptyje, palyginti su magnetiniu lauku); paveikslėlis iš K. H. Kiyani ir kt., 2015 m. straipsnio "Apšiltinimas ir šildymas"

Šio santykio universalumas iš esmės yra labai paprastas: tuo atveju, kai sistemoje nėra specialios krypties, pasirinkto greičio arba pasirinkto dydžio, ty kai sistema yra aprašoma tik pagal energijos įvedimo spartą ε ir sūkurio dydį L, jokio kito ryšio fiziškai neįmanoma statyti.

Kita vertus, kai pasirodys pasirinkta kryptis, Kolmogorovo prielaidos yra pažeistos. Pavyzdžiui, kai yra magnetinis laukas (pavyzdžiui, saulės vėjo atveju), mes galime atskirti dvi kryptis: statmenai ir lygiagrečiai, o dvimačiai dydžiai pasirodo \ (L_ (\ perp) \), \ (L_ (||) \), todėl šis paprastas ryšys nebeveikia.

Apibendrintas turbulencijos spektras esant magnetiniam laukui vėliau atsirado Irošnikovas (PS Iroshnikov, 1963 m. Turbulencija stiprus magnetinio lauko) ir Kryshnan (RH Kraichnan, 1965 m. Inkarinio spektro hidromagnetinės turbulencijos) pagal izotropinę turbulencija (\ (E (k) \ propto k ^ (- 3/2) \)), Gordreichas ir Sridharas su anisotropine turbulencija (P. Goldreich ir S. Sridhar, 1997. Magnetohydrodynamic turbulence Revisited): šiuo atveju statmenai magnetiniam laukui spektro kryptis vis dar yra Kolmogorovsky (4 pav., dešinėje).

Kaip minėta pirmiau, dvimačio atveju vaizdas keičia šiek tiek. Lėktuve (ar kitokiu dvimačiu paviršiumi, pavyzdžiui, sferoje), o ne kaskados viršuje vėjo skaičiai (arba žemyn skalės), kai kuriais atvejais galite stebėti atvirkštinį kaskadą – tai yra energija, tekanti į didesnes ir didesnes skales, sudarančias dideles eddies.

Toks elgesys susijęs su tuo, kad lėktuve, be energijos, saugomas dar vienas kiekis, kuris vadinamas "sūkuriu". Tiesą sakant, tai yra sūkurio kampinis momentas ir turi būti palaikomas kampinis momentas. Dviašoniu pasauliu negalima tiesiog sunaikinti sūkurio į mažesnes, nes jie negali išlaikyti tokio paties momento, kaip didelis momentas. Sūkurio ir atvirkštinio kaskados išsaugojimasBeje, jie yra viena iš pagrindinių priežasčių, kodėl didelės apimties ciklonai egzistuoja mūsų planetos atmosferose ir daugelyje kitų (Jupiteris, Saturnas, Uranas).

Apskaičiuoto kaskados modeliavimas plokštumoje. Spalvos rodo sūkurio kryptį: juoda – pagal laikrodžio rodyklę, balta – atvirkščiai. Dėl atvirkštinio kaskados iš pradžių maži sūkuriai yra sujungti į vis didesnes


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: