Karuselės kvadratas • Nikolajus Avilovas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementai" • Matematika

Karuselė kvadratu

Užduotis

Pav. 1.

3 × 3 kvadratas sudarytas iš kvadratinių 1 × 1 lustų, sunumeruotų nuo 1 iki 9. Lustai iš pradžių yra tokie, kaip parodyta fig. 1 paliko. Visus keturis 2 × 2 kvadrato gabalus galima pasukti aplink jo centrą apskritime. Ar galima su keliais tokiais posūkiais gauti vietą, kurioje lustai:
a) numeruota "gyvatė" (1 pav., dešinėje);
b) forma 3 × 3 magijos kvadratas?


Užuomina

Abiejuose punktuose atsakymas yra "gali". Pagalvokite apie apsisukimų seką, kuri, pavyzdžiui, apsikeičia mikroschemomis su skaičiais 2 ir 6, kad likę lustai būtų jų vietose. Ar galima dvi dvi žetonus pakeisti vienodai?


Sprendimas

Pav. 2

Pav. 2 raidės A, B, C ir D nurodo galimų posūkių centrus. Šiais taškais gali pasukti keturi čipai (pvz., Galite sukaupti 2 × 2 kvadrato, kurio centras yra šis taškas, lustai aplink tašką A.) Apsisukimai yra patogiai pažymėti laipsniais: A, A2 ir A3 – pagal laikrodžio rodyklę pagal tašką A pasukamas atitinkamai 90 °, 180 ° ir 270 ° kampu (pasisukant pagal laikrodžio rodyklę – vienareikšmiškai).

Galite pastatyti kvadratą, kurio lustai yra "gyvatės" numeriai, sekti septynių posūkių seką: ABCB2C3AB2. Pav.3 žingsnis po žingsnio parodo, kas vyksta su lustais.

Pav. 3

Jūs galite pastatyti magišką kvadratą šešiais posūkiais. A3D3C2A2BA3 (4 pav.).

Pav. 4


Po žodžio

Problema išspręsta, tačiau gali būti jausmas nesudėtingo nepasitenkinimo, nes nėra aišku, kaip rasti sprendimą ir kodėl tokie posūkiai lemia tinkamą lustų išdėstymą. Šie sprendimai, beje, yra trumpiausi, ir jie buvo rasti naudojant kompiuterinę paiešką. Autoriaus prašymu programą parašė KT Shamsutdinov, Rusijos čempionas 2018 m. Sprendžiant galvosūkius.

Kaip rasti šių problemų sprendimus tik "pieštuku ir popieriumi"? Pažiūrėkime!

Mes skambinsime 2 × 2 lustų kvadratais mažais. Yra keturi iš jų 3 × 3 kvadratu – šios aikštės kampuose. Du maži kvadratai gali susikirsti vienos lustos ar dviejų. Abi šios situacijos yra parodytos fig. 5

Pav. 5

Ar įmanoma kiekvienu iš šių atvejų suktis mažus kvadratus aplink jų centrus, apsikeitimo tik dviem traškučiais ir palikti likusią vietą savo vietose? Pasirodo, abu šie atvejai yra gerai ištirti.

Žurnale "Mokyklos matematika" (2009 m. Nr. 10) buvo kita užduotis (šiek tiek kitokia formuluotė). Galvosūkis "6" yra 3 × 2 stačiakampis, sulankstytas iš 1 × 1 kvadrato lustų. Kiekvienoje eilėje iš kairės į dešimtainį skaičiuojami mikroschemos numeriais nuo 1 iki 6. Kiekvieno 2 × 2 kvadrato lustą galima pasukti aplink jos centrą daugybe 90 °. Ar galima su keliais tokiais posūkiais gauti susitarimą, kuriame tik 2 ir 5 mikroschemos pakeis vietos (6 pav.)? Lengva pamatyti, kad tai yra būtent kairė konfigūracija iš fig. 5

Pav. 6

Šios užduoties autoriai (I. Akulichas, K. Kaibkhanovas, S. Tokarevas) parodė, kad to neįmanoma padaryti. Atskirame straipsnyje buvo skirtas jo sprendimas vienu iš šių žurnalo numerių (nors paprastai siūlomų problemų sprendimai yra gana kompaktiški). Straipsnis nėra lengvas skaityti, viskas yra rimta: penki puslapiai, šešios lempos, bet rezultatas yra įdomus.

Pav. 7

Pasirodo, ši užduotis yra ypatinga tokios bendros problemos atvejis. Skaičiai 1, 2, 3, …, mn parašyti m × n stačiakampyje, kur 2 ≤ m ≤ n, ląstelėse. Viduje stačiakampyje leidžiama pasirinkti bet kurį 2 × 2 kvadratą ir perskirti numerius apskritime (7 pav.). Kokiomis m ir n reikšmėmis galima nurodyti numerius lentelėje?

Išsamų atsakymą į šį klausimą pateikė I. Akulichas. Problema yra išspręsta tik ir tik jei m + n ≥ 6.Tokiems stačiakampiams jis nustatė kelių takų algoritmus, leidžiančius užsakyti lentelių numerius. Dėl 2 × 3 stačiakampio problema pasirodė esanti neišsprendžiama. Šio atvejo tyrime buvo naudojamas kompiuteris. Paaiškėjo, kad esami 6! = 720 permutacijos iš šešių skaičių galima suskirstyti į šešias 120 pakeičiamųjų grupes kiekvienoje grupėje, be to, kiekvienoje grupėje pernumeracijos perduodamos viena į kitą, sukant mažus kvadratus, o pertuntimai iš skirtingų grupių į kitą nėra perskaičiuojami. Permutacijos (123456) ir (153426) priklauso skirtingoms grupėms, todėl atsakymas į problemos klausimą yra neigiamas. Tai yra tai, ką K. Kaibkhanovas parodė savo straipsnyje, naudojant linijinę dviejų invariantų kombinaciją.

Kitas netikėtas šios užduotys. Pasirodo, kad jis įdiegiamas į Rubiko kubą, jei leisite sukti tik du kubo sluoksnius: priekinę ir dešinę. Pav. 8 judantys kubeliai yra balti. Rubiko "Kubo" žinovai žino, kad jis turi neįmanomas būkles: pavyzdžiui, neįmanoma keisti tik dviejų kampinių kauliukų (taip, kad likusios bus jų vietose). Ir tai yra būtent šešių kvadratų užduotis.

Pav. 8

Dabar pasukame į figūrą dešinėje pusėje. 5Žurnalas "Kvantas" (2009 m. Nr. 6) pasiūlė tokią užduotį. Iš numeruotų kvadratinių luselių 1 × 1 yra sulankstytas paveikslėlis, kuriame yra du 2 × 2 kvadratai, o lusto numeris 4 yra įprastas (9 pav., Kairėje). Kiekvieno 2 × 2 kvadrato lustą galima pasukti aplink jo centrą 90 ° kampu. Ar tokiais posūkiais galima gauti vietą, pavaizduotą pav. 9 tiesa?

Pav. 9

Skirtingai nuo pirmojo atvejo, čia galima keisti 1 ir 2 žetonus. Mes parodome, kaip tai padaryti. Atkreipkite dėmesį, kad jei nekreipiate dėmesio į likusių lustų perkėlimą, tada 1 ir 2 lustai gali būti lengvai keičiami. Norėdami tai padaryti, turite atlikti 4 2 × 2 kvadratinių pasukimų skaičių tokia seka: kairė laikrodžio rodyklė 90 °, dešinė prieš laikrodžio rodyklę 90 °, kairė prieš laikrodžio rodyklę 90 °, o dešinė – 180 °. Pav. 10 rodo lustų judesį šių sukimosi metu.

Pav. 10

Lyginant pradinę ir galutinę lustų išdėstymą, pažiūrėkime, kokį judėjimą atlieka kiekvienas lustas.

Pav. 11

Jei strėlės nurodo kiekvienos lustos perkėlimą ir pažymi taškus taškais, kurie vėl pasirodė jų vietose, tada mes gauname schemą su fig. 11. Maišeliai 1 ir 2 pasikeitė, 3 ir 6 mikroschemos išliko vietoje, 4, 5 ir 7 mikroschemos judėjo aplink ciklus.Tai reiškia, kad jei pakartosite keturių sukčių seriją tris kartus, tada 4, 5 ir 7 žetonai vėl pateks į vietą, o 1 ir 2 žetonai pakeis vietas.

Grįžkime prie savo užduoties. Pav. 12 mėlyna spalva paryškina 3 × 3 kvadrato fragmentą, kuris atitinka dešiniosios konfigūracijos fig. 5. Naudodamiesi apsisukimais aplink A ir D taškus, rašome aukščiau esančių posūkių seką g = (AD3A3D2)3 už šį fragmentą. Dėl sekos rezultato g 12 apsisukimų vietose pasikeičia tik 2 ir 6 lustai.

Pav. 12

Norėdami pastatyti kvadratą, kuriame žetonai yra "gyvatės" numeriai, pakanka pasikeisti 4 ir 6 žetonų. Pirmiausia turite atlikti parengiamąjį žingsnį A24 mikroschemą įdėkite į 2 mikroschemos vietą, tada naudokite virpesių seriją gkuris apsikeičia mikroschemomis 4 ir 6, tada sukant A2 grąžinkite likusius lustai (išskyrus 6) į savo vietas (13 pav.).

Pav. 13

Norėdami sukurti magišką kvadratą, pirma, trimis posūkiais, 4 vertimą į viršutinį dešinįjį kampą ir vertimą 6 į apatinį kairįjį kampą, pvz .: A2BC2. Dar vienas posūkis A25 mikroschemą į aikštės vidurį.

Pav. 14

Kas nutiko, parodyta fig.14 dešinė: jau yra baltos lustai, o mėlynoje dalyje pažymėtoje dalyje taip pat turime atkurti tvarką. Bet paaiškėja, kad naudodamiesi posūkių seka g ir pagalbiniai posūkiai, šioje dalyje galite keisti bet du lustai. Pavyzdžiui, parodome, kaip apsikeitimo žetonais a ir b (15 pav.). Norėdami tai padaryti, pirmiausia išverskite lustą a viduryje viršutinės aikštės pusės, lustas b – viduryje dešinėje aikštės pusėje. Turite susitarimą, į kurį galite pritaikyti "turn" g ir apsikeitimo žetonų seką a ir b, po atvirkštinio verpimo C3 ir a3 (tokia tvarka) grąžina likusius lustai į jų pradinę būseną.

Pav. 15


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: