Kalėdinės eglutės ir žibintai • Konstantinas Knopas, Eugenijus Epifanovas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementuose" • Matematika

Kalėdų eglutės ir žibintai

Užduotis

Didžiojoje, labai didžiulėje Naujųjų metų išvakarėse buvo sumontuoti daug, daug Kalėdų eglių ir daug, daugybė žibintų, ir buvo daugiau kalėdinių eglučių nei žibintai. Ar tai gali paaiškėja, kad 1 metro atstumu nuo kiekvieno medžio yra lygiai 8 žibintai? (Kalėdos ir žibintai laikomi taškais, o plotas yra plokščias.)


1 patarimas

Taip, tai gali būti.


2 patarimas

Pabandykite pirmiausia išspręsti paprastesnį atvejį: kai 1 m atstumu nuo kiekvieno medžio yra 2 žibintai ir medis yra daugiau nei žibintai.


Sprendimas

Pirmiausia aptarime paprastesnį dėklą iš 2 antgalio. Įdėkite žibintus į kvadratinę grotelę su 2 m šonu ir kalėdines eiles, esančias visų segmentų tarp dviejų gretimų žibintų viduryje. Jei iš vienos pusės yra N žibintai tada bus visos žibintai N2. Yolok su 2N(N – 1), nes pusė jų yra vertikaliuose segmentuose, o pusė – horizontali. Jau esate N = 3 medžiai bus daugiau nei žibintai. 1 paveiksle parodyta situacija, kai N = 5: 25 žibintų ir 40 kalėdinių eglių plote.

Pav. 1.

Spręsdami pagrindinę užduotį, išlaikysime žibintų vietą ir beveik visus Kalėdines eglutes (tos, kurios neatitinka būklės, tiesiog jas pašalinsite nuo aikštės). Ir tada ką galima pakeisti? Paradoksalu tai, kad geriausia pakeisti matavimo vienetą, ty skaitiklį. Netrukus bus aišku, kodėl.

Tarkime, kad yra didelis plotas, kuriame medžiai ir žibintai stovi tokiu pačiu būdu kaip ir anksčiau paminėtame pavyzdyje. Pirma, atsakykime į šį klausimą: ar tam tikroje Kalėdų eglutėje yra apskritimas su centru, kuriame yra lygiai 8 žibintai? Mes galime manyti, kad šis medis yra koordinačių kilmė, o koordinatės ašys palei lygiagrečiai segmentams, jungiantiems artimiausius žibintus (tegul abscisio ašis eina išilgai segmento, kuriame stovi mūsų medis). Tada šviesos turi formos koordinates (2k + 1, 2l) kur k ir l – sveikieji skaičiai (masto matavimo vienetas, kurio mes dar nepasikeitėme). Pagal Pihagoros teoremą, atstumas nuo žibinto su koordinačių (2k + 1, 2l) prie medžio yra (2k + 1)2 + (2l)2. Tokios sumos gali būti vienodos skirtingoms poroms sveikų skaičių (k, l) Pavyzdžiui, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Tai reiškia, kad žiburiai taškuose (7, 4) ir (1, 8) yra vienodi atstumai nuo medžio. Bet tuomet toje pačioje atstumo pusėje yra ir žiburiai, esantys taškuose (-7,4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), o visos tokios lempos bus lygiai 8 (2 pav. Jie rodomi mėlynai, aiškumo dėlei per juos pritvirtinamas apskritimas). Apskritai, mes neįrodėme, kad jų bus ne daugiau kaip aštuoni, tačiau šis paprastas pratybas bus paliktas skaitytojui už nepriklausomą sprendimą.

Pav. 2

Dabar mes esame pasiruošę pažadėtam "metro keitikliui". Dabar tegul naujas metras bus šio apskritimo spindulys, kuriame radome 8 žibintus. Tada visiems Kalėdų eglutėms, kurios pakankamai "guli viduje aikštėje", bus įvykdyta 8 žibintų būklė. Lieka apskaičiuoti, kas yra "giliai viduje". Medis turėtų būti toks, kad dešinėje ir kairėje iš jo būtų 7 "seni metrai" ir virš žemiau 8 "senų metrų" žibintai. Kiek tokių medžių yra horizontaliuose segmentuose, jei žibintų išilgai kvadrato dalies yra skaičius N? Turime pašalinti medžius iš viršutinės ir apatinės keturių eilučių ir medžių iš trijų kairiųjų ir trijų dešinių vidurinių segmentų. Tai yra, dabar kiekvienoje horizontalioje eilutėje N – 7 Kalėdinės eglutės (ir ne N – 1, kaip buvo anksčiau), ir dabar yra tokių eilučių N – 8, ne N. Tas pats pasakytina apie vertikalių eilučių medžius, todėl bendras medžių skaičius yra 2 (N − 7)(N – 8). Nelygybė 2 (N − 7)(N − 8)>N2 atliktas ne N ≥ 26 (3 pav.). Su tokiu N užduoties būklė bus įvykdyta.

Pav. 3


Po žodžio

Atkreipkite dėmesį, kad mūsų sprendime mes naudojome idėjas, kurios buvo panašios, kurios buvo svarstomos užduočių ratuose, esančiuose ant popieriaus lapų. Jis išsamiai aprašo, kaip ieškoti keteros plokštumoje apskritimo, kuris eina per tam tikrą skaičių tinklo mazgų.Taip pat atkreipiame dėmesį, kad mūsų užduotį galima išspręsti kitaip: žr. "Quest" Questbook problemos M1129 sprendimą.

Apskritai, tam tikrų savybių turinčių tam tikras savybes turinčių ribų skaičiaus punktų konfigūracijos problemos yra labai daug. Atrodo, kad visa tai turėtų būti "vaikiški" klausimai, tokie kaip mūsų, tačiau daugelis tokių problemų pasirodo esąs labai sudėtingos ir jose užsiima profesionalūs matematikai. Matematikos skyrius, skirtas panašių problemų – kombinatorinės geometrijos – išsivystė per visą XX a., Ir Paul Erdos labai prisidėjo prie šio proceso.

Daugybė kombinatorinės geometrijos problemų patenkins jų formulių paprastumu. Pavyzdžiui: įrodyti, kad jei ne visi taškai nustatomi vienoje eilutėje, tai yra linija, kuri eina per lygiai du iš šių punktų. Tai yra The Siemens-Gallai teorema teorema, kuri buvo išspręsta gana ilgą laiką. Tačiau, kadangi tai yra gera problema, iš to kyla kitų klausimų: nuo šios teoremos teigiama, kad turi būti bent viena tiesi linija, einanti per du taškus, kiek tokių tiesių linijų gali būti? Prieš porą metų straipsnis, skirtas šiam klausimui, buvo paskelbtas Terence Tao, kuris dar kartą rodo, kad nuo paprastų klausimų iki pažangos mokslo srityje dažnai yra gana trumpas kelias.

Problemos autorius ir sprendimai: Konstantinas Knopas
Postword autorius: Eugenijus Epifanovas


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: