Grupės teorija yra tobulumo mokslas. Grupės aksiomos

Grupės teorija – mokslų kompetencija

Evgeny Vdovin

  • Įvadas
  • Kai kurie pradiniai apibrėžimai ir žymėjimas
  • Grupės aksiomos
  • Grupiniai pavyzdžiai
  • Išvada

Grupės aksiomos

Šiame skyriuje baigiamas tekstas, kurio prasideda ne . Kiti du punktai yra paskutinės pastraipos, kurių skaitymas nereikalauja ypatingų pastangų.

Apsvarstykite tą patį apskrities miesto "N" kiną ir manau, kad viename iš sesijų auditorija nusprendė keistis bilietais pagal tam tikrą taisyklę. Pavyzdžiui, pirmoji kiekvienos eilutės vieta pasikeičia antrąja, trečiąja, ketvirta ir pan. Todėl kiekvienas žmogus išlieka vienoje pusėje "su savo" – kiekvienas turi bilietą, kita vertus – kiekvienas sugebėjo pakeisti savo vietą. Jei mes dabar keičiame pagal kokią nors kitą taisyklę, tada trečia, tada rezultatas – kiekvienas turi tik vieną bilietą – nepasikeis. Tokiu atveju iškrovimo tvarka gali labai pasikeisti, palyginti su pradine. Taigi tokie transformacijos yra daugelio vietų (ar tiksliau daugelio žiūrovų) simetrija, ir nesvarbu, kiek kartų juos atliksime, pagrindinė funkcija, kurią kiekvienas žiūrovas turi tik vieną bilietą, nepasikeis.Jei nuoseklus bilietų keitimo vykdymas vadinamas "daugyba" (nors jis yra labai toli nuo realaus dauginimo, į kurį visi esame įpratę), tada visų mainų su tokiu "daugyba" rinkinys sudaro labai svarbią algebrinę struktūrą – grupę. Apskritai, bet kokia grupė yra objekto (rinkinio) simetrijos, kuriam yra pateiktas dauginimas, taip pat kaip ir tik su bilietų biržomis – nuosekliu vykdymu.

Taigi, objekto simetrijos grupė yra didesnė, tuo didesnė jo simetrija. Primenant, kad kuo daugiau simetrijų, tuo tobulesnis objektas, mes pastebime, kad simetrijų grupės dydis vaidina tam tikro objekto tobulumo matą. Apsvarstykite įprastines plokštumos formas: trikampį, kvadratą, šešiakampį ir apskritimą. Jie visi yra simetriški figūros, tačiau jie yra skirtingi simetriškai. Taigi trikampis turi tik šešis simetriją: sukimasis aplink masės centrą (medianų sankirtos taškas) 120 laipsnių kampu (tokie posūkiai 3) ir refleksija, palyginti su bet kuriuo iš jo medianų (taip pat yra ir 3 tokie atspindžiai). Kvadratūra jau turi aštuonių simetrijų: pasukimas aplink centrą (įstrižainių susikirtimo taškas) 90 laipsnių kampu (jau yra 4 tokie posūkiai)taip pat simetrija pagal bet kurią įstrižainę (yra dvi iš jų) ir bet kokią tiesią liniją, jungiančią vidurio taškus priešingose ​​aikštės pusėse (taip pat yra ir dviejų). Šešiakampis jau turi 12 simetrijų (mes siūlome skaitytojui juos visus išvardyti), o simetrijos apskritimas turi begalinį skaičių – tai yra bet kokio kampo posūkis ir simetrija bet kurios tiesios linijos, einančios per apskritimo centrą. Taigi, pats geriausias skaičius yra apskritimas, tada šešiakampis, po jo kvadratas ir mažiausiai tobula figūra yra trikampis.

iki galo

Leisk G – savavališkas rinkinys ir darant prielaidą, kad jis yra duotas (dvigubas, iš dviejų argumentų) operacija "·", paprastai vadinama dauginantkuris dėl bet kurių dviejų elementų a, b šio rinkinio unikaliai su jais susieja elementą, pažymėtą a · b ar tiesiog ab. Su šiuo elementu ab vadinamas produktas daiktai a ir b. Jei papildomai įvykdomos šios trys sąlygos (vad grupės aksiomos):

(ГР1)
už visus tris a, b, cG tikrą lygybę (ab)c = a(bc) (asociacijos teisė);

(GR2)
yra toks elementas ekad bet kokiam daiktui aG tikra lygybė ae = ea = a (vieneto egzistavimas); toks elementas e vadinamas vienas grupes;

(ГР3)
už bet kurį prekę aG yra toks elementas btai tikra lygybė ab = ba = e (atvirkštinio egzistavimo); toks elementas b vadinamas atvirkštinis a ir yra pažymėtas a-1;

tada daug G dauginimo operacijų formų atžvilgiu grupė. Jei tuo pačiu metu įvykdoma dar viena aksioma:

(ГР4)
už bet kuriuos daiktus a, bG tikra lygybė ab = ba (komutatyvumo teisė),

tada grupė yra vadinama коммутативный arba abelian. Toliau cituojame skirtingų grupių pavyzdžius, taip pat natūralias situacijas, kuriose atsiranda grupių. Akivaizdūs pavyzdžiai yra sveikų skaičių rinkinys pridėjus, nelyginių racionalių skaičių rinkinį dauginant ir kt. Pastebime keletą paprastų grupinės aksiomų pasekmių: vienetinis elementas ir atvirkštinis elementas yra unikaliai apibrėžti. Iš tikrųjų, tarkime, yra dviejų vienetų elementų e1, e2, tada taikymas aksiomos (GR2) suteikia mums tokią lygių grandinę e1 = e1e2 = e2. Panašiai, jei dėl kai kurių elementų a yra dvi atvirkštinės b1, b2, tada, naudojant aksiomas (GR1) – (GR3), mes gauname tokią lygčių grandinę b1 = b1e = b1(ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2.

Jei M – savavališkas grupės pogrupis Gtada mes galime apsvarstyti dauginimo operaciją rinkinyje M, kuris yra kartografavimas ·: M × MG. Eksploatacija rinkinyje M mes skambinsim sukeltas operacija Pakopas H grupes G vadinamas pogrupisjei ji pati yra grupė, susijusi su sukelta operacija. Labai lengva patikrinti, ar pogrupis yra pogrupis, jei jis uždarytas produkto atžvilgiu (t. Y. Bet kurioms dviem h1, h2 H elementas h1 · h2 vėl slypi H) ir yra uždarytas atsižvelgiant į atvirkščiai (t. y. bet kuriam h H elementas h-1 vėl slypi H) Trumpai jis parašytas kaip HH H ir H-1 H. Tolesnis pareiškimas "H yra grupės pogrupis G"Netrukus mes rašome taip HG.

Leisk G yra savavališkai grupė H – jo pogrupis ir g – savavališkas grupės elementas G. Daug Hg = {hg | h Hvadinamas gretimoji klasė (gretimos klasės) elementas g. Mes pristatome santykius g1g2 (mod H) apie grupės elementų rinkinį G pagal taisyklę: g1g2 (mod H) tuo ir tik tuo atveju, jei Hg1 = Hg2. Žymių, panašių į sveikų skaičių dalijimosi santykį (žr. Aukščiau), naudojimas nėra atsitiktinis, nes dalijimosi santykis yra ypatingas gretimų klasių lygybės atvejis. Iš tiesų, kaip grupė G rinkinys priimamas sveikieji skaičiai papildymu ir kaip pogrupis H paimtas pogrupis k skaičiai, kurie yra dalijami k. Akivaizdu, kad mūsų apibrėžtas santykis yra lygiavertiškumas, klasės lygiavertiškumo rinkinys yra žymimas G / Hgalia |G / H| lygiaverčių klasių rinkinys taip pat žymimas kaip |G : H| ir yra vadinamas pagal indeksą pogrupiai H grupėje G. Akivaizdu, kad bet kuris g G sąžiningas |Hg| = |Hkur mes iš karto svarbu Lagrangeo teorema: |G| = |G : H| · |H|, visų pirma, pogrupio tvarka visada padalija grupės tvarką.

Įjungta G / H Galite natūraliai apibrėžti dauginimo operaciją: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Kad apibrėžimas būtų teisingas, t. Y., Kad rinkinių lygybė Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} ir Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, būtina ir pakanka, kad bet kuris g G lygybė buvo įvykdyta g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (šią sąlygą mes pasakysime HG H) Išraiška g-1Hg vadinamas konjugacija naudojant elementą g ir dažnai minimas Hg. Išraiška gHg-1 = Hg-1 mes įrašysime gH. Pogrupis Hatitinkanti būklę HG Hvadinamas normalus grupės pogrupis G (žymimas H G) ir gautą grupę G / H vadinamas faktorių grupė grupes G pagal pogrupį H. Normalios pogrupio ir faktorių grupės sąvokos yra teoriškai svarbiausios grupės, nes jos leidžia iš dalies sumažinti grupių tyrimą mažesnėms grupėms (iš dalies, nes H ir G / H grupė G apibrėžta dviprasmiškai). Vadinama grupė, kurioje nėra įprastų pogrupių paprasta.

Akivaizdu, kad bet kurio pogrupio skaičiaus susikirtimas vėl yra pogrupis. Tai leidžia mums nustatyti pogrupis sukurtas M, kaip mažiausias pogrupis, kuriame yra pogrupis Mt. y. visų grupės pogrupių susikirtimas Gturintys daug M. Pogrupis sukurtas rinkiniu Mbus žymimas M. Lengva tai patikrinti M yra visų tipų elementų produktų rinkinys iš M ir atgal prie jų. Grupė sukurta vieno elemento a vadinamas ciklinisir jos užsakymas |a| : = |a| vadinamas pagaliau elementas a. Labai lengva patikrinti, ar elemento eiliškumas yra mažiausias skaičius. nuž kurį lygus e. Iš Lagrange teoremos matyti, kad elemento tvarka visada padalija grupės tvarką.

Šio skyriaus pabaigoje pristatome grupių isomorfizmo koncepciją. Jei G, H – grupė, tada kartografavimas φ : GHišsaugoti operaciją (t. y. visiems g1, g2 G padaryta (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) yra vadinamas homomorfizmas, nustatykite Ker (φ) = {g G | = evadinamas homomorfizmo branduolysir daugelis = { | g Gvadinamas homomorfizmas. Jei Ker (φ) = {e}, ir = Ht. y. jei φ yra bijekcija, tada žemėlapiai φ vadinamas isomorfizmasir grupes G ir H isomorfinis (žymimas G H) Teorema apie homomorfizmą teigia, kad H = Ker (φ) – normalus grupės pogrupis G ir G / H. Isomorfizmą galima laikyti savimi kaip tokį "dviejų" grupių "panašumą", kurio mes jų neišskiria (nors iš tikrųjų jie gali būti skirtingi). Taigi, teorija, griežtai kalbant, studijuoja grupių izomerizmo klases. Atkreipkite dėmesį, kad kasdieniame gyvenime mes taip pat dažnai nustatome isormalizmą daugiau ar mažiau aukšto lygio abstrakcijos. Pavyzdžiui, egzistuoja isomorfizmo baldų klasė, vadinama "drabužių spinta" sąvoka, o mes keliais ženklais neabejotinai nustato, ar tam tikras objektas priklauso "drabužiniams", ar ne. Kai trūksta tokio aukšto abstrakcijos lygio, mes nusileidžia žemesniu lygmeniu ir pradeda skirstyti spinteles į "virtuvę", "knygą", "spinta" ir ttGrupių isomorfizmo samprata yra tik priemonė, kurią mes savo abstrakcijos lygyje išskiria arba identifikuoja objektus.


Like this post? Please share to your friends:
Grupės teorija – mokslų kompetencija ">
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: