Grupės teorija yra tobulumo mokslas. Kai kurie pradiniai apibrėžimai ir žymėjimas

Grupės teorija – mokslo kompetencija

Evgeny Vdovin

  • Įvadas
  • Kai kurie pradiniai apibrėžimai ir žymėjimas
  • Grupės aksiomos
  • Grupiniai pavyzdžiai
  • Išvada

Kai kurie pradiniai apibrėžimai ir žymėjimas

Mes pabandysime naudoti kuo mažesnes formules ir specialius matematinius simbolius, bet mes negalime be jų be visiškai. Paprastai rinkiniai bus žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, o jų elementai – mažosiomis raidėmis. Jei A – daug, ir a – kai kurie elementai, tada įrašykite a A turėtų skaityti "elementas" a priklauso daugeliui A"; atitinkamai įrašas a A reiškia "elementas" a nepriklauso nuo rinkinio A„.

Prisiminkite, kad komplekso, elemento ir narystės sąvokos yra pagrindinės neapibrėžtos šiuolaikinės matematikos sąvokos. Bet kokį rinkinį lemia į jį įtraukti elementai (kurie, savo ruožtu, taip pat gali būti rinkiniai). Taigi mes sakome, kad rinkinys yra nustatyta arba nustatytijei dėl bet kurio elemento galime pasakyti, ar jis priklauso šiai rinkai, ar ne. Dėl dviejų rinkinių A, B įrašai B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B atitinkamai reiškia B yra rinkinio pogrupis A (t. y. bet kuri prekė iš B taip pat yra Apavyzdžiui, natūralių skaičių rinkinys yra realių skaičių rinkinyje; be visada A A), B yra tinkamas rinkinio pogrupis A (t. y. B A ir BA), rinkinių susikirtimas B ir A (t. y., visi tokie elementai, kurie vienu metu lieka Air in B, pvz., sveikieji skaičiai ir teigiami tikrieji skaičiai yra natūralių skaičių rinkinys), rinkinių sąjunga B ir A (t. y. rinkinys, sudarytas iš elementų, kurie yra arba Aarba in B), nustatykite skirtumą B ir A (t. y. elementų rinkinys, kuriame yra Bbet ne guli A), Dekarto rinkinių produktas A ir B (t. y., formos porų rinkinys (a, b) kur a A, b B) Per |A| visada pažymėta galia rinkiniai At. y. elementų skaičius rinkinyje A. Sąvokos visada paryškinamos. kursyvu.

Mes negalime daryti be kartografavimo, santykių ir lygiavertiškumo sąvokų. Mes nesuteiksime griežtų loginių šių sąvokų apibrėžimų, mes juos paaiškinsime. Atvaizdavimas gali būti laikoma funkcija, susiejanti vieną elementą (vadinamą prototipas) kitas elementas (vadinamas kelias) Mūsų gyvenime mes nuolat susiduriame su ekrano koncepcija, pavyzdžiui, įsigijome teatro bilietą, todėl mes nustatome ekraną tarp bilieto ir tam tikros vietos teatro salėje. Kai gauname atlyginimą, mes nustatome žemėlapio sudarymą tarp mėnesio atlikto darbo ir pinigų, už kuriuos bus mokama. Išnagrinėję futbolo rinkėjų žaidėjų sąrašus, nustatome žemėlapį tarp žaidėjų ir komandų, kurių jie žaidžia. Taigi, yra labai daug kartografavimo, beveik viskas mūsų gyvenime yra vienokiu ar kitokiu atvaizdavimu. Yra skirtingų tipų specialieji atvaizdai, tada tekste bus naudojami šie 3 tipai: injektyvus kartografavimas (injekcija), subjektyvus kartografavimas (suspaudimas) ir bijektinis kartografavimas (bijection) Injektyvus kartografavimas yra kartografavimas, kuriame žemėlapiai skiriasi vaizdais į skirtingus šaltinio elementus. Siūlinis kartografavimas yra kartografavimas, kuriame kiekvienas vaizdas turi prototipą. Galų gale, biektyvus kartografavimas yra ir injekcijų, ir subjektyvus kartografavimas.

Leiskite mums paaiškinti šias sąvokas, pavyzdžiui, žemėlapį tarp daugybės bilietų ir daugybės vietų teatre.Įsivaizduokite kiną apygardos mieste N, kurioje skydas ir kardas eina tūkstantį kartų. Žinoma, yra tik keletas norinčių matyti, ir yra tik viena pora, kuri "Kiss Line" perduoda du bilietus. Atvykę į kiną, pora džiaugiasi, kad jie yra vieni čia, bet kaip išsilavinę žmonės, jie į savo vietas nurodo bilietus. Šiuo atveju, žinoma, žemėlapiai yra injekuojami, nes skirtingi bilietai atitinka skirtingas vietas. Tačiau tai nėra sektyvaus pobūdžio, nes vis tiek turime daug tuščių vietų, dėl kurių nebuvo parduotas vienas bilietas. Taigi, nejurjektyvus kartografavimas yra nepalankus kino administracijai.

Įsivaizduokite, kad kitą dieną to paties miesto kino teatre jie pažadėjo paleisti naują Tarantino fanu klubą ir užsiminė, kad pats Tarantinas atsakys į klausymus iš filmo. Žinoma, bilietų kasose yra daug žmonių, o valdymas "klaidingai" parduoda dvi bilietų rinkinius tose pačiose vietose. Mes čia neapibūdinsime išardymo dėl vienos vietos, kuri įvyko sesijoje, mes tik atkreipiame dėmesį į tai, kad ekranas dabar yra permainingas, nes bilietas buvo parduotas kiekvienai vietai, bet ne injekcinis, nes kiekvienai vietai yra du bilietai.Taigi neinvezinis kartografavimas tiesiogiai prieštarauja vartotojų teisėms ir tikriausiai patenka į kai kurį įstatymo "Dėl vartotojų teisių apsaugos" straipsnį.

Na, paskutinis atvejis, žiūrėkite tą patį kino teatrą N mieste 2006 m. Sausio 1 d. Išvakarėse. Plačiai reklamuojamas pirmasis metų filmas dar kartą sukelia visuomenės agiotaką, tačiau dabar, vadovaujantis ankstesnės kartos patirtimi, kruopščiai užtikrinama, kad už kiekvieną sesiją bus parduodamas tik vienas bilietų rinkinys. Dėl to kiekvienas žiūrovas ramiai užima vietą, o kiekviena sesija prasideda pilna namu. Taigi šis paskutinis pavyzdys yra ir injekcinis, ir sekrecinis atspindys, ty bijekcija. Vadinasi, bijekcija yra auksinė priemonė, kuri yra kuo naudingesnė direktoratui ir tuo pačiu metu kuo patogesni auditorijai. Ši bijeceto samprata ką tik buvo intelektualios simetrijos sampratos matematinė formalizacija, kuri buvo aptariama įžangoje. Todėl nenuostabu, kad šiuo atveju yra puikus ekranas.

Atvaizdavimas iš rinkinio A rinkinyje B skambinkite kai kuria taisyklė, kurios kiekvienas elementas A galite susieti vieną elementą iš B. Grafikų, kuriuos mes paprastai apibūdinsime graikų raidėmis, rašome φ : ABir bet kurio elemento vaizdas a A palyginti su ekranu φ yra užregistruotas . Toks įrašas atrodo iš pradžių neįprastas ir nepatogus tiems, kurie yra naudojami rašymo funkcijoms (specialus atvaizdavimo atvejis), kaip φ(a), bet mūsų pristatymui bus lengviau. Jei yra 3 rinkiniai A, B, C ir pateikiant atvaizdus φ : AB ir ψ : BCtada galite sukurti žemėlapį φψ : AC as kompozicija (nuoseklios vykdymo) atvaizdavimai φ ir ψ. Atkreipkite dėmesį, kad jei mes užfiksavome ekraną kairėje, sudėtį φψ mes turėtume skaityti iš dešinės į kairę arabų kalba. Ateityje mums reikės šių specialių žemėlapių tipų: injekcija (rodyti φ : AB vadinamas injekcija, jei skiriasi x, y A daiktai , taip pat skiriasi) suspaudimas (rodyti φ : AB vadinamas sekminis, jei kuris nors y B yra toks x Atai = y), bijection (tuo pačiu metu injekcijos ir įšvirkštimo). Rodiklių iš racionalių skaičių į racionalius pavyzdžiai gali būti atvaizdavimai: xx3, xx2, xx/ 2. Pirmasis yra injekcinis, bet ne serijinis, antrasis nėra nei serijinis, nei injekuojamas, trečias yra bijekcija.

Kitas svarbus matematikos sampratas yra koncepcija santykiai. Požiūrį galima laikyti tam tikra taisyklė, kuri dėl dviejų elementų (daiktai, daiktai, gyvosios būtybės ir tt) leidžia nustatyti, ar jie yra šiuo atžvilgiu, ar ne. Mūsų gyvenime mes nuolat įsitraukiame į įvairius santykius. Pavyzdžiui, kalbant apie giminystę (su skirtingu laipsniu artimumo), darbuotojo ir darbdavio požiūris, vairuotojo ir keleivio santykis, pardavėjas-pirkėjas ir tt Visi šie santykiai yra skirtingo pobūdžio, skirtingi savybes, o matematika tiksliai nagrinėja santykių savybes, o ne rūpinantis savo prigimtimi.

Mes sakome, kad kai kurie nustatyti A nustatyti R santykisjei dėl dviejų elementų a, bA galime pasakyti, ar jie yra susiję R ar ne. Kitaip tariant, požiūris R yra kartografavimas R : A × A → {1, 0}, kur 1 reikšmė atitinka "true", o reikšmė 0 – "false" (atkreipkite dėmesį į tai, kad elementai yra labai svarbūs a ir b)Paprastai, norint pažymėti santykius, mes naudosime specialiuosius simbolius ≡, ~, tt santykiai yra patogiai parašyti kaip a ~ bjei a ir b yra susiję R ir a bjei a ir b ne santykis R. Santykis ~ nustatytas A vadinamas pagal lygiavertiškumąjei tenkinamos šios aksiomos:

(ECB1)
už bet kokį a A padaryta a ~ a (refleksyvumo aksioma);

(ECB2)
už bet kokį a, bAa ~ b taip b ~ a (simetrijos aksioma);

(ECB3)
už bet kokį a, b, cAa ~ b ir b ~ c taip a ~ c (transitizacijos aksioma).

Santykių pavyzdžiai – tai santykis, kuris yra ≥ realių skaičių rinkinyje, dalijimosi santykis į sveikų skaičių rinkinį, lygybės santykis su realių skaičių rinkiniu, likučių lygybės santykis nuo padalijimo fiksuoto natūralaus skaičiaus į natūralių skaičių rinkinį. Atkreipkite dėmesį, kad pirmieji du santykiai nėra lygiaverčiai, o paskutiniai du yra. Paskutinis santykis yra ypatingas vardas: sveiki skaičiai m, n yra vadinami palyginamas modulis k (parašyta kaip mn (mod k)) jei nm padalinta iš k.

Jei rinkinyje A atsižvelgiant į lygiavertiškumo santykį ~, tada visas komplektas suskaidomas į lygiavertiškumo klases – pora lygiaverčių elementų pogrupiai, o abi dvi klasės nesutampa arba nesutampa. Tiesą sakant, tarkime C1, C2 – dvi lygiavertiškumo klasės ir jų susikirtimas C1C2 yra ne tuščias ir yra keletas elementų x. Tada bet kuriam elementui y C1, pagal ekvivalentiškumo klasę, yra patenkintas x ~ y. Be to, už bet kokį z C2, dar kartą pagal ekvivalentiškumo klasę, patenkintas z ~ x. Atsižvelgiant į tranzitacijos aksiomą (sąlyga (EKV3)), mes tai pasiekiame y ~ zreiškia C1 = C2. Kolekcijos klasių rinkinys A pagal ekvivalentiškumą ~ žymi A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Grupės teorija – mokslo kompetencija ">
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: