Grupės teorija yra tobulumo mokslas. Grupiniai pavyzdžiai

Grupės teorija – kompetencija mokslo srityje

Evgeny Vdovin

  • Įvadas
  • Kai kurie pradiniai apibrėžimai ir žymėjimas
  • Grupės aksiomos
  • Grupiniai pavyzdžiai
  • Išvada

Grupiniai pavyzdžiai

Pavyzdžiai grupių, žinoma mums iš pradinės mokyklos, yra sveikieji skaičiai, racionalūs, realūs, sudėtingi skaičiai, pridedant, racionalus, realus, sudėtingus skaičius, dauginant. Visos šios grupės yra abelian. Kitas svarbus grupių pavyzdys yra tokia konstrukcija. Leisk X – savavališkas rinkinys ir simX – rinkinys visokių komplektacijų biekcijos X apie save. Nustatykite dauginimą pagal simX kaip kompozicija. Tada simX dėl kompozicijos veikimo yra grupė ir vadinama simetrinė grupė ant komplekto X arba pakaitinė grupė (kartais vartojama ir termino permutacijos grupė, tačiau mums atrodo nesėkminga, daugiau apie tai žemiau). Jei daugelis X žinoma ir |X| = ntada galime tai daryti X = {1, … , n} ir simX žymimas simn. Jei Ψ yra priklausomybė nuo atvaizdų, kuri yra išsaugota pagal kompoziciją, tada suskirstymų pogrupis, atitinkantis sim grupės Ψ savybesX sudaro sim grupės grupės pogrupįX. Parodyta, kad atributų sudėtis atitinka asociaciją (GR1) (kitų elementų tikrinimas yra daug paprastesnis, jie išplaukia iš biiekinės apibrėžties).Norint įrodyti, kad žemėlapių sudėtis yra asocijuota, pirmiausia reikia suprasti, kada žemėlapiai yra vienodi. Nepaisant akivaizdaus apibrėžimo, tai dažnai sukelia sunkumų. Grafikai φ : AB ir ψ : AB (kur A, B – savavališki rinkiniai) yra lygūs, jei bet kuris x A jo vaizdai ir yra lygūs. Dabar tegul φ, ψ, χ SimX ir x X. Tada x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χkita vertus x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χtai įrodo kompozicijos asociacija.

Šis pavyzdys ne tik leidžia kurti daugybę skirtingų grupių (matysime, kad visos grupės yra žemiau), bet taip pat parodo platų grupių teorijos taikymo sritį. Ten, kur yra bent viena simetrija (ty, bijekcija), grupės iškart kyla. Problemos statybos naudojant kompasą ir valdovą, sprendžiamumą algebrinių lygčių radikaluose, diferencialinės lygtys primityviuose ir tt, natūraliai susilpnėjo iki grupinės teorijos problemų. Įvairios kombinatorinės problemos yra suskaidomos į objektų, atitinkančių tam tikras savybes, skaičiavimą, ir dar kartą į grupių teoriją.

Jei G – grupė X – nustatyti ir suteikti homomorfizmą φ : G → SimXtada pasakyk grupei G veikia pagal nustatytą X. Jei Ker (φ) = {e}, veiksmas yra vadinamas tiksliai. Norėdami "palengvinti" žymėjimą, mes nustatysime g su savo įvaizdžiu ir savavališkai x X jo vaizdas yra santykinai įrašys xg. Mes pristatome lygiavertiškumo santykį ~ X pagal taisyklę: elementai x, y X yra lygiaverčiai, jei yra toks g Gtai xg = y. Skaičiai lygiavertiškumo vadinami Orbita grupes G. Sakoma, kad grupė G veikia tranzitu (ir pristatymas yra tranzitinis) jei yra tik viena orbitė. Homomorfizmas φ : G → SimX vadinamas pakaitos simbolis grupes G (būtent dėl ​​sąvokos "permutacijos pateikimas" sąvoka "permutacijos grupė" laikoma nesėkminga, nes terminas "permutation representation" turi kitą reikšmę). Jei Ker (φ) = {e}, pateikiamas pristatymas tiksliai.

Dabar apsvarstykite savavališką grupę. G ir jo pogrupis H. Grupė G veikia pogrupio gretimų klasių rinkinyje H padauginus iš dešinės: (Hg1)g2 = H(g1g2) Taigi, yra tranzitinis reprezentavimas φ : G → SimG / H. Jei H nėra jokių įprastų grupės pogrupių Gtada šis pateikimas yra tikslus. Visų pirma, jei H = {etas pristatymas G → SimG/ % = SimG visada tikslus ir pašauktas reguliariai grupės pristatymas G. Taigi, bet kuri grupė gali būti laikoma pakeitimo grupe. Pasirodo, bet koks pereinamasis grupės vaizdas G gali gauti tokiu būdu.


norint suprasti tokį tekstą, reikia žinoti universiteto algebros kursą

Šis grupių pavyzdys kyla iš vektorinių erdvių. Leisk V – vektorinė erdvė virš lauko F (Nesuteiksiu vektorinės erdvės ir lauko apibrėžimo, vektorinės erdvės pavyzdys yra plokštuma, o lauko pavyzdys yra racionalių skaičių rinkinys, susijęs su pridėjimu ir daugyba). Negeneruočių linijinių transformacijų vektorinės erdvės rinkinys V sudaro grupę ir yra vadinama bendra linijinė grupė (žymimas GL (V)). Lengva patikrinti tos pačios dimensijos vektorines erdves n per tą patį lauką yra isomorfiškas ilgio eilučių erdvei n, o neviršijančių linijinių transformacijų rinkinys sutampa su neegeneruotų matricų rinkiniu. Šiuo atveju bendra linijinė grupė parašyta kaip GLn(F)Iš tikrųjų šis pavyzdys nėra griežtai naujas, nes GL (V) ≤ simV. Tačiau šios klasės grupių svarba dėl jos atrankos atskirame pavyzdyje. Homomorfizmas φ : G → GLn(F) yra vadinamas linijinis vaizdas grupes G per lauką F laipsniai nir erdvė V vadinamas G modulis. Įvadinėje dalyje paminėta rutulio simetrijos grupė sutampa su visų linijinių trijų matmenų erdvės transformacijų grupe, kuri palaiko vektorių ilgį, vadinamą paprastoji ortogonalinė grupė.


Trečiasis grupių pavyzdys atsiranda taip. Leisk X = {x1, x2, …} yra tam tikra abėcėlė (galutinė arba begalinė). Užpildykime oficialius simbolius. X-1 = {x1-1, x2-1, …} ir apsvarstykite žodžių rinkinį abėcėlėje X X-1. Mes pristatome transformacijas:

(1)
simbolių ištrynimas xixi-1 arba xi-1xi;

(2)
pridėti į bet kurį vietą žodžiai žodžiai xixi-1 arba xi-1xi.

Du žodžiai tu, v mes vadiname lygiaverčiu, jei yra tipo (1) ar (2) transformacijos grandinė, verčianti vieną žodį į kitą. Klasių lygiavertiškumo rinkinyje mes apibrėžiame daugybos operaciją, priskirdami vieną žodį kito pabaigoje. Tada gauname grupę nemokama grupė ir pažymėtas F[X], o šios grupės elementai yra vadinami žodžiais. Dėl šios konstrukcijos universalumo laisvos grupės yra būtinos oficialių kalbų (pvz., Programavimo kalbų) mokymuisi, taip pat įvairiems kitiems kodavimo teorijos, pripažinimo ir tt uždaviniams spręsti. Sąvoka "nemokama" priklauso nuo to, kad jei turime savavališką grupę G ir yra toks jo pogrupis Mtai M = Gtada galime apsvarstyti daug žodžių X su sąlyga |X| = |M| ir tada yra homomorfizmas φ : F[X] → G. Homomorfizmo branduolys Ker (φ), sukurtas kai kuriais žodžiais R ir grupės įrašymas G kaip G = < X|R > paskambino grupės uždavinys apibrėžti ir kurti santykius. Galbūt tai yra labiausiai abstraktus būdas priskirti grupę ir todėl yra sunkiausia. Mes nepateiksime čia tokiu būdu apibrėžtų grupių pavyzdžių.


Like this post? Please share to your friends:
Grupės teorija – kompetencija mokslo srityje ">
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: