Futbolo kamuoliai matematika • Borisas Bychkovas • Populiariosios mokslinės užduotys "Elementuose" • Matematika

Futbolo kamuoliai matematika

Užduotis

Prieš beveik 50 metų, 1968 m. Europos futbolo čempionate Adidas sukūrė naują "Telstar" futbolo rutulį. Tai pasirodė taip sėkmingai, kad jo išvaizda ir pjūvis gali būti laikomi klasikine: tai yra 20 šešiakampių ir 12 penkiakampių, susiuvami arba klijuojami išilgai šonų (mes vadiname poligonų kraštus šonkauliai), kad kiekvienoje viršūnėje būtų trys kraštai. Tokio futbolo rutulio paviršius yra labai arti rutulio paviršiaus (sferos).

Dabar įsivaizduokite, kad yra daug šešiakampių ir penkiakampių, iš kurių buvo įmanoma klijuoti daugiasluoksnį, panašų į sferą pagal tuos pačius principus: klijuoti kraštus į kraštus, kad kiekvienoje viršūnėje sutaptų būtent trys kraštai. Pasirodo, kad nesvarbu, kiek šešiakampių yra naudojamas, ten bus lygiai 12 penkiakampių. Įrodyk tai!


1 patarimas

Jums bus padedama garsiąją Eulerio formulę: jei diagramą su v viršūnės r kraštai ir γ kraštai, tada lygybė vr + γ = 2. Svajota grafika vadinama plokštumos dalimi, kurią apriboja kraštai, ištempdami, bet nesulauždami, kurią galite sukurti apskritimą.


2 patarimas

Norint pradėti, žinoma, jūs turite suprasti, kaip futbolo kamuolys yra susijęs su grafiku.Iš tiesų, darome prielaidą, kad penkiakampiai ir šešiakampiai yra grafiko paviršiai, jų kraštai yra grafiko kraštai, o viršūnės yra grafiko viršūnės. Tada gauname grafiką, pavaizduotą ant sferos paviršiaus. Tarkime, mes paėmėme n šešiakampiai ir m penkiakampiai. Lieka suprasti, kokie apribojimai skaičiai m pateikia Eulerio formulę.


Sprendimas

Taigi, tarkime, mes paėmėm n šešiakampiai ir m penkiakampiai. Leiskite mums apskaičiuoti, kiek viršūnių, kraštų ir veidų bus atitinkamoje diagramoje. Kiekvienas iš n šešiakampiai suteikia šešis viršūnių ir kiekvieną iš jų m penkiakampiai – po penkis, tai reiškia, kad bus 6n + 5m viršūnės. Tačiau mes pastebime, kad mes skaičiuojame kiekvieną iš šių viršūnių tris kartus, nes mes suklijome kartu tris daugiakampius kiekvienoje viršūnėje. Iš viso diagramoje v = (6n + 5m) / 3 viršūnių. Panašiai mes ir tai r = (6n + 5m) / 2. Akivaizdu, kad veidų skaičius tiesiog lygus daugiakampių skaičiui: γ = m + n.

Dabar mes rašome Eulerio formulę:

\ [\ frac (6n + 5m) (3) – \ frac (6n + 5m) (2) + m + n = 2 \ Leftrightarrow -6n-5m + 6m + 6n = 12 \ Leftrightarrow m = 12. \]

Tai yra, tiesą sakant, jei bandote klijuoti sferinį poligrandį, aprašytą būklėje, tada bet kokiam šešiakampių skaičiui bus reikalaujama tiksliai 12 penkiakampių. Ir tai yra visiškai griežti įrodymai – ne magija.


Po žodžio

Mes toliau paskambinsime fulerenas išangės daugiasluoksnės, kurios tenkina būklės savybes: kiekviename viršutiniame krašte susilieja trys kraštai, o veidai yra tik penkiakampiai ir šešiakampiai (nebūtinai reguliarūs). Apskritai, fulerenai yra viena iš alotropinių anglies formų: sferinės anglies atomų molekulės, kiekvienas atomas, kuriame yra lygiai trys anglies žiedai, susidedantys iš 5 arba 6 atomų. Tai reiškia, kad mūsų daugiakampio pavadinimas yra gana pagrįstas.

Pirmasis iš atvirų fulerenų, C60, jame yra 60 anglies atomų. Jis buvo sintezuotas R. Curl, G. Kroto ir R. Smalley 1985 m., Ir negalima sakyti, kad jie tai padarė tiksliai: chemikai apšvitino kietu grafito pavyzdžius su lazeriu ir analizavo kondensuotų grafito garų sudėtį, kurioje Nustatyti 60 ir 70 anglies atomų klasteriai. Vėliau pavyko patvirtinti, kad tai tikrai C60 (ir kitas fulerenas – C70sudaryta iš 70 atomų). Už tai 1996 m. Jiems buvo skirta Nobelio premija chemijoje.

Savo ruožtu šios molekulės buvo pavadintos fulerenais po Amerikos architekto, dizainerio ir išradėjo Richard Buckminster Fullerio,kurie patentuoja kupolų dizainą, kad padengtų didelius plotus su atramomis tik pasienyje (žr. problemų epilogą "pieštukai ir siūlai").

Fullerenai randami gamtoje, susiduria su kosmosu, turi daugybę paraiškų biologijoje, medicinoje ir nanotechnologijose ir ne kartą tapo naujienų herojais mūsų svetainėje (žr. Toliau pateiktas medžiagas).

Daugiasluoksnis, turintis futbolo rutulio formą ir nuo kurio prasidėjo ši užduotis, taip pat yra 60 viršūnių (tai yra lengva patikrinti, žinant Eulerio formulę!) Be to, forma yra beveik neatskiriama nuo fulereno C60. Skirtumas yra tas, kad "fullerene" turi skirtingus "kraštus" – anglies atomų tarpusavio ryšių ilgis: bendra dviejų šešiakampių pusė yra 1,39 Å ilgio, o bendra šešiakampio ir penkiakampio pusė yra ilgesnė ir lygi 1,44 Å. Pažiūrėkime į šį daugiakampį matematiniu požiūriu.

Pradedame nuo icosahedro, reguliaraus daugiapakopio, sudaryto iš 20 trikampių veidų, kurie sujungiami penkiais kiekvienoje iš 12 viršūnių. Įsivaizduokite, kad jis pagamintas iš sūrio ir supjaustytas kiekviena viršūnė su aštriais peiliukais. Logiška gauti gautą poluadrą sutrumpintą icosahedrą. Lengva matyti, kad trikampiai veidai buvo paversti šešiakampiais, o kiekvienos viršūnės vietoje pasirodė penkiakampis veidas (1 pav.).Taigi, jei mes manysime, kad mes idealiai išsiskyrėme tiksliai ir visi šešiakampiai ir penkiakampiai kraštai pasirodė esąs vienodi, tada turime teisingą sutrumpintą icosahedrą – tai yra "futbolo kamuolys" (tik iš sūrio).

Pav. 1. Teisingas icosahedras ir sutrumpintas icosahedras. Brėžiniai iš ru.wikipedia.org

Kaip ir reguliarusis icosahedras, sutrumpintas iosahedras, gautas iš jo, turi icosederalinę simetrijos grupę: yra 120 skirtingų trijų erdvių (šiuo atveju posūkių ir atspindžių) judesių, kurie verčiami į įprastą sutrumpintą icosahedrą. Fullerenai su tokia simetrijos grupe vadinami "Goldberg" daugiasluoksniais (žr. "Goldberg" daugiaadres). Dėl jų simetrijos jie susideda iš reguliarių penkiakampių ir šešiakampių. Įdomu tai, kad tarp fullerene molekulių yra tokių, kurių apskritai nėra simetrijos (H. Yang ir kt., 2011 Fullerenes be simetrijos: kristalografinis C1(30) -C90 ir C1(32) -C90).

Kaip įrodėme problema, "Goldbergo" daugiaadres visada yra 12 penkiakampių, todėl gali būti nurodoma penkiakampių vieta. Būtent, mes eisime iš vieno penkiakampio į kitą "riterio judesiu": pirmiausia m žingsniai vienoje kryptyje, tada pasukite 60 ° kampu ir kita n žingsniai.Pasirodo, GP daugiagarsis gaunamas tokia keista tvarka (m, n) turės chosasederalinę simetrijos grupę. Paprasčiausias Goldbergo daugiakampio GP (1, 0) pavyzdys yra dodecahedras (įprastas daugiasluoksnis, kurį sudaro 12 penkiakampių). Pav. 2 parodyta "Goldbergo" daugiasluoksnė dviejų kitų parametrų verčių. m ir n: GP (1, 4), GP (7, 0). Beje, šešiakampių skaičius "Goldberg" daugiaadrese yra išreikštas per m ir n: tai yra 10 (m2 + mn + n2 – 1) (bandykite tai įrodyti!).

Pav. 2 "Goldberg" daugiaspalvis GP (1, 4), GP (7, 0). Brėžiniai iš en.wikipedia.org

Yra fulerenai su kitomis simetrijų grupėmis. Čia reikėtų pažymėti, kad matematikai mėgsta tyrinėti objektus su simetrija: iš dalies dėl to, kad paprastai yra lengviau ir patogiau, o iš dalies todėl, kad tokie objektai nėra neįprasti ir yra patogu naudoti modeliuojant realius procesus.

Mes taip pat paminėjome dar vieną dodekaedro jungtį su fulerenais. 2015 m. Matematikai V. Buchstaber ir N. Erokhovets parodė, kad kiekvienas fulerenas yra kombinatoriškai ekvivalentiškas (tai yra, mes leidžiame pakeisti kraštų ir kampų ilgius, bet mes neleidžiame keisti penkiakampių ir šešiakampių skaičiaus, o mes ieškomekurios daugiasluoksnės gali būti gaunamos tokiais pertvarkymais viena nuo kitos) daugiasluoksniu būdu, gautu iš dodekaedro, naudojant specialių "trunkacijų" seką. Pavyzdžiui, vienas iš trinties tipų atrodo taip: jums reikia paimti keletą taškų esamo veido pusėse, sujungti juos su segmentu ir "pertraukti" šias puses pasirinktuose taškuose (šiame straipsnyje ši operacija parodyta 6 pav.). Tame pačiame straipsnyje parodyta, kad nėra vienos šešiakampio fulerelių, tačiau yra fulerenų su bet kokiais kitais šešiakampiais skaičiais! Pavyzdžiui, jei nėra šešiakampių, tai yra dodekaedras. Pabandykite suprasti, kaip pilnai turi struktūrą, kurioje yra tiksliai du šešiakampiai (atsakymas gali būti pateiktas to paties straipsnio 20 pav.).

Taip pat žr. Apie fulerenus:
1) P. Elizarijevas. Fullerenas kosmose.
2) Fullerenai apsaugo ląsteles nuo spinduliuotės, "Elements", 22.11.21.
3) Fullerenas sutrikdo DNR, elementai, 2005 m. Gruodžio 13 d.
4) superioninis laidumas buvo rastas ličio galeridėje, "Elements", 2009-04-23.
5) "sausas vanduo" padėjo išmatuoti kovalentinių obligacijų polarizaciją, "Elements", 2019 11 02.
6) vandeniliu surištos molekulės, sugautos fulereno narve, "Elements", 2015-05-30.


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: