Arnoldas, Gömbötzas ir tortas

Arnoldas, Gömbötzas ir tortas

Gaboras Domokošas, Daria Morgacheva
"Troitsky variantas" № 2 (171), 2014 m. Sausio 27 d

Per paskutinę 2014 m. Lapkričio mėn. Toronto universiteto (Kanados) universitetą vyko konferencija "Vladimiro Arnoldo palikimas", skirta įvairioms matematikos sritims. Maskvos valstybinio universiteto absolventas Daria Morgacheva aplankė Vengrijos matematiko populiarių mokslų ataskaitą Gaboras Domokošas – sudėtingo matematinio objekto, vadinamo "gobiets", išradėjas ir paprašė keletą klausimų.

Visi žino, kad žaislas kūdikiui lėlėms: nesvarbu, kaip jis buvo pakreiptas, visada grįžta į pradinę padėtį. Šis neįprastas turtas vadinamas mono-monostatiniu: masalas turi vieną stabilią pusiausvyros padėtį, normalus ir vienas nestabilus: jei jį uždėsite ant galvos (menkiausias nukrypimas nuo vertikalios paverčia žaislą stabilia pusiausvyra). Bet lėlės nėra vienalytės: jos apačioje yra apkrova, o viršuje ji tuščia. Ar įmanoma padaryti vienodą mono-monostazinį objektą?

Keista, kad formuluojamas klausimas tiesiog pasirodė esąs labai netiesioginis. 2006 m. Šį sprendimą išsprendė du Vengrijos inžinieriai Gábor Domokos ir Peter Várkonyi (Péter Várkonyi).

2D problemos formuluotė

Gaboras Domokošas

Gaboras Domokos gavo inžinerinį išsilavinimą Vengrijoje, tačiau buvo linkęs ne į praktinį, bet į inžinerinių problemų matematinę pusę. Devintojo dešimtmečio pabaigoje, dėl politinių pokyčių namuose, "Domokosh" turėjo galimybę aplankyti JAV, kur jis metus dirbo Kornelio universitete kartu su kitais inžinieriais, kurie turi panašių matematinių interesų. Gaboras Domokošas susitiko su Andy Ruina (Andy Ruina) ir Jim Papadopoulos – "inžinierius be akademinis bet turintys akademinius interesai ", kaip pats Domokas kalbėjo apie jį. Papadopoulos eksperimentuose, kurie sukūrė istoriją apie Gömbös sukūrimą, pasakė Gaborui Domokošui:

– Jim domino pusiausvyros pozicijos skirtingų įstaigų, pagamintų iš faneros (plokščios, vienodos masės) ir vielos (kurių masė paskirstyta išilgai kontūro). Pvz., Kvadratas turi keturias stabilias pusiausvyros pozicijas (jis gali stovėti kiekvienoje pusėje) ir nestabilios pusiausvyros pozicijos (stovi ant kiekvienos viršūnės, kad kvadrato įstrižainė būtų statmena horizontaliam paviršiui).Elipsė yra stabilios pusiausvyros padėtyje, kai jo ilga ašis ištempiama horizontaliai ir nestabili, kai jo trumpoji ašis yra horizontali; tai yra simetriška, todėl ji turi dvi stabilias ir dvi nestabilias pusiausvyros pozicijas. Jimas priėjo prie išvados: nesvarbu, kokia išgaubta figūra jums atsiranda, ji turi bent jau tokias stabilias pusiausvyros pozicijas kaip elipsė – du.

1994 m. Gaboras Domokošas, Andy Ruin ir Jim Papadopoulos paskelbė straipsnį Elastingumo leidinys [1], kur jie įrodė, kad dvimatis objektas, turintis tik vieną stabilią būseną ir viena nestabili pusiausvyros būklė, negali egzistuoti.

Pietūs su Arnoldu

"Aš pirmą kartą susitiko su Vladimiru Arnoldu 1995 m. Tarptautiniame pramoninės ir taikomosios matematikos kongrese Hamburge", – sakė Gaboras savo paskaitoje. – Konferencijoje, kuri tapo didžiausia tų metų matematine proga, dalyvavo daugiau kaip du tūkstančiai matematikų iš įvairių šalių.

Kongresas buvo padalintas į 40 lygiagrečių sesijų, todėl bet kuriuo paros metu galėčiau rinktis vieną iš 40 ataskaitų, kurių kiekvienas truko 15 minučių.Trumpųjų ataskaitų skaičius ir jų teminė įvairovė sukėlė faktą, kad viskas sujaudinta į galvą. Laimei, šis kongresas taip pat apima tris 45 minučių paskaitas iš pakviestų matematikų, iš kurių vienas buvo Vladimiras Igorevičius Arnoldas. Savo paskaitoje dalyvavo visi du tūkstančiai kongreso dalyvių. Iš pradžių, kai Arnoldas tik pradėjo kalbėti, niekas jo neišklausė, auditorijoje jis buvo triukšmingas. Tačiau palaipsniui žmonės pradėjo nuraminti. Arnoldas paminėjo kai kurią Jokobi teoremą (aš nesupratau paskaitos pradžios). Jis kalbėjo apie įvairias problemas – diferencialinę geometriją, optiką, mechaniką. Kiekviena užduotis, susijusi su ketvirtuoju numeriu. Keturi – šioje problemoje keturi – kitoje, keturi, keturi, keturi. Tada prisiminiau, kad mūsų straipsnis taip pat įrodė, kad plokščias korpusas turi keturias pusiausvyros pozicijas – dvi stabilios, dvi nestabilios. Tai privertė mane galvoti: gal mūsų užduotis yra susijusi su šia teorema?

Konferencijų organizatoriai dalyviams pasiūlė neįprastą paslaugą: mokėdami 30 vokiečių ženklų, tu gali sėdėti prie pietų stalo tuo pačiu stalu su bet kuriuo atrinktu asmeniu.Aš norėjau paklausti Arnoldo apie mano užduotį ir, nors 30 ženklų man buvo daug pinigų, aš nusprendžiau, kad neturėtų būti praleista ši galimybė, net dėl ​​tokios vakarienės aš norėčiau aukoti vakarienes. (Juokiasi) Pietūs nusivylė mane – organizatoriai akivaizdžiai rūpinosi savo nauda daugiau nei dalyvių komfortu, o viename dideliame apskritojo stalo sėdėjo daugiau nei dešimt žmonių. Kiekvienas turėjo straipsnį, kuris tikrai reikalavo diskusijos. Aš neturėjau straipsnio, ir aš nesiruošiau pasikalbėti su Arnoldu. Jis netgi kalbėjo apie save: "Jūs sumokėjote 30 ženklų už galimybę sėdėti prie pat stalo su manimi, su kuo su manimi kalbėtum?" – bet aš atsakiau, kad norėjau tiesiog klausytis. Ir vis dėlto per tą dieną sugebėjau pasikalbėti su juo. Pokalbis truko ne ilgiau kaip 15 minučių.

Iškirpkite cilindrą

Aš pasakiau apie faneros ir vielos figūras ir kad jie turi mažiausiai dvi pozicijas stabilios ir bent dvi nestabilios pusiausvyros, iš viso keturi. Arnoldas mane išklausė ir mąstė. Po penkių minučių aš paklausiau jo, ar jis nori žinoti, kaip tai įrodėme, į kurį jis atsakė: "Žinoma, aš žinau, kaip tai įrodo. Tačiau tai ne tai, kas manau. santykis su Jacobi teoremu ar ne. "Po kurio laiko jis tęsė: "Manau, kad Jokobi teorema ir jūsų problema yra susijusios, tačiau ryšys yra netiesioginis. Manau, kad yra ir kita теорема, kuri apima Jokobi teoremą ir jūsų problemą. Galėčiau pasakyti daugiau papasakojo man apie jūsų užduoties trimačią versiją. " Aš išdidžiai apibūdino jam priešingą pavyzdį – kūną, turinčią vientisą stabilios pusiausvyros padėtį: supjaustytą cilindrą.

Arnoldas pasakė: "Žinoma, jūs suprantate, kad tai nėra priešpriešinis pavyzdys! Pagrindinis jūsų darbo rezultatas yra ne tas, kad kūnas turi dvi ar daugiau stabilių pusiausvyros pozicijų, bet turi keturias pusiausvyros pozicijas, o jūsų cilindras turi keturias pusiausvyros pozicijas – vieną stabilų ir tris nestabilus. Tuo pačiu metu gali egzistuoti ir mažesnio skaičiaus pusiausvyros pozicijų kūnas. Rasti man laišką, kai jį rasite. "

Kolumbas, kiaušinis ir mėsos pyragas

Tokio kūno egzistavimo įrodymas ir jo formos ieškojimas trunka dešimt metų. 2006 m. Gaboras Domokošas ir Peteris Varkonyi išleido du straipsnius: viename iš jų jie įrodė, kad egzistuoja mono-monostazminiai kūnai, o kitoje jie apibūdino tikrų Gombetų formą.

Gombetos formos idėja grindžiama keletu intuityvių prielaidų. Pirma: jo maksimalus ilgis yra lygus minimaliam, kaip ir sferos ilgiui.Taigi pavadinimas, paimtas iš vengrų kalbos: Gömböc – apvalios mėsos pyragus. Antra: nedideli objekto formos pokyčiai gali sukelti naujų pusiausvyros pozicijų atsiradimą. Tai gali iliustruoti Kolumbijos kiaušinių legenda. Pasak legendos, Christopheris Kolumbas, grįžęs į Ispaniją po Amerikos atradimo, sėdėjo vakariene, kuris buvo jo garbėje. Kai kurie iš tų, kurie dalyvavo, sakė: "Amerikoje labai lengva atidaryti visus, tai gali padaryti", į kurią Columbas pasiūlė svečiams vietą ant kiaušinių stovėti tiesiai. Kai jis buvo įsitikinęs, kad niekas negalėjo tai padaryti, jis paėmė kiaušinį iš vieno galo ir jį nustatė.

Gombecų statymas Domoko ir Varkonyi iš tiesų pakeitė rutulio paviršių, stebėdamas du parametrus: išgaubtą ir gravitacijos centro padėtį. Žinoma, yra begalinio skaičiaus kūnų, turinčių mono-monostatizmo savybes, o Gombetai yra tik vienas iš jų.

Pagaliau, po ilgos istorijos, Gáboras Domokos demonstruoja Gömböz auditoriją. Tačiau prieš tai jis iš savo kelnių kišenės gauna rankogalį, valo stalą. Matydamas auditorijos pasipiktinimą paaiškina:

– Tu netikės, bet net dulkės ant stalo gali pakeisti Gömbös elgesį.Jo formos tikslumas yra labai svarbus. Jei padarysite klaidą milimetro dalimi, pusiausvyros pozicijų skaičius pasikeis. Jei bent šiek tiek pakeisite figūros parametrus, pusiausvyros pozicijų skaičius padidės. Kai aš turėjau juokingą dialogą su kompanija, aš užsisakiau pirmąjį Goembezą. Paklaustas, ar jie padarė pageidaujamą formą su viena stabilios pozicijos ir vienos padėties nestabilios pusiausvyros, jie atsakė: "Mes padarėme dar geriau – mūsų forma turi 16 padėtį stabilią pusiausvyrą!"

– Kodėl nenaudojate 3D spausdinimo technologijos? – paprašyk salės.

– Iš tikrųjų šios technologijos šiuo metu nėra tokios išvystytos. 3D spausdinimas yra diskretiškas, medžiaga naudojama sluoksniuose. Tai reiškia, kad susidariusi forma turės mažus "žingsnius", kurie, galbūt, vizualiai neiškraipo formos, bet taip pat pakeis stabilių Gombetų padėčių skaičių.

Laikas rinkti akmenis

Po ataskaitos Gaborui Domokošui buvo įmanoma paklausti keletą klausimų privačiai.

– Ar jus domina biologinės sistemos? Galų gale, Gombetuose yra viena stabili pusiausvyros pozicija, viena nestabili, – tai labai graži tokių sistemų iliustracija.

– Taip, ne tik biologijoje, tokios sistemos taip pat dažnai naudojamos ekonomikoje ir mechanikoje. Man svarbiausias dalykas yra tokio objekto buvimas, o Arnoldas jį paklausė. Matai, Gombetsas dabar labai garsus. Raskite šią formą, įrodykite tokio objekto egzistavimą daugelio jėgų. Bet užduoti klausimą, rasti ryšį … Turėjau tik dvi diskusijas su Arnoldu, ir abi buvo ne daugiau kaip dešimt minučių. Jie man davė daug. Mažai žmonių gali suprasti gryną matematiką, bet ir mažai, kurie gali matyti ryšį tarp fizinių, biologinių objektų ir matematikos. Matematika yra gamtos kalba, ir žmonės, kurie kalba šia kalba, yra reti. Arnoldas buvo vienas iš jų.

– Jūs sakėte, kad ieškojote sprendimo dešimt metų. Ką tu darai visus šiuos metus? Kaip dirbote su šia užduotimi?

– Mokslas yra taip išdėstytas: daugeliu atvejų jūs prarasite, bet kai tik laimėsite. Mokslininkas turi būti pasirengęs kasdieniams sunkumams, nesėkmėms. Būtent tie, kurie palaipsniui veda prie sprendimo. Per šį laiką aš padariau viską, ko būtų galima padaryti, kad išspręstų problemą. Išleidusi atostogas su savo žmona Rodo saloje Graikijoje, aš maniau: tikriausiai norimą kūną galima rasti tarp akmenų paplūdimyje. Mes pradėjome rinkti akmenis.Per savaitę kiekvieną rytą jie atėjo į paplūdimį, surinko akmenis, pažvelgė į juos po pietų, užrašė stalą apie stabilių ir nestabilių taškų skaičių kiekvienam akmeniui, vakare grąžino akmenis į savo vietą. Per šį laiką surinkome du tūkstančius akmenų. Tai buvo beprotiška idėja! Paaiškėjo, kad tarp akmenų nėra būtinų formų.

– Kokio užduotio dabar dirbate?

– Kai susitikau su Arnoldu antrą kartą ir pristatiau pirmąjį Gömböc'ą (Gömböc 001), pasakydamas apie jo rezultatus, jis atkreipė dėmesį į savo plokštę, kurioje akmenys buvo klasifikuojami pagal pusiausvyros pozicijų skaičių. Pasak jos, dauguma akmenų turi dvi pozicijas stabilios ir dvi nestabilios pusiausvyros ir yra artimos formos elipsoidams. Arnoldas teigė, kad, greičiausiai, natūralus dilimas (tai yra laipsniškas akmenų dilimas) sumažina pusiausvyros pozicijų skaičių. Jo idėja pasirodė esanti tiesa, tačiau, pasiekusi dvi pozicijas stabilių ir dviejų nestabilių pusiausvyros, akmuo sustoja. Toliau mažinti pusiausvyros pozicijų skaičių yra labai mažai tikėtinas įvykis. Todėl Gömbös, turintis mažiausią pusiausvyros pozicijų skaičių, gamtoje beveik niekada nepasireiškia. Britų fizikas seras Michaelas Berry (seras Michael Berry) vieną kartą sakė: Gömböc egzistuoja gamtoje ("Gömbetz egzistuoja gamtoje, bet tik kaip sapnas"). Taigi ponas Barry norėjo pabrėžti, kad kiekvienas akmuo pakrantėje siekia Gömbös formos, tačiau negali pasiekti. Jei paprašysi akmens, jei jis norėtų būti Gömbö, jis atsakytų: "Žinoma, aš noriu!" Kodėl taip nutinka, tai užduotis, kurią aš dirbu [5].

(centre) ir Peter Varconi (dešinėje) duoda Vladimirą Arnoldą Goembezą su serijos numeriu 001 "border = 0>

Gaboras Domokošas (centre) ir Peter Varconi (dešinėje) duoda Vladimirą Arnoldą Goembezą su serijos numeriu 001

Kas iš tiesų yra pagrįstas

2008 m. "Domokosh" ir "Varkonyi" paskelbė dar vieną straipsnį [4] dėl vėžlių formos. Kas atsitiks su vėžliuku, jei jis atsitiktinai sukasi ant nugaros? Kaip ji gali sugrįžti į savo įprastą padėtį? Paaiškėjo, kad tarp 200 egzistuojančių rūšių žiemos vėžlių yra ilgos kojos (jos naudoja savo kojines, kad galėtų grįžti į pilvą) ir trumpos kojos (jie grįžta į savo pradinę padėtį su apvalkalo formos, arti prie namelių formos). Hegelio žodžiai "Viskas, kas yra racionalu, tikrai, ir viskas, kas yra tikrai racionali Dar kartą juos patvirtina gražus išrado objekto ir evoliucijos proceso metu gautos formos ryšys.

1.Domokos G., Papadopulos J., Ruina A. Statiškos kietų kūno pusiausvyros: ar yra kažkas naujo? / / Elastingumo leidinys. 1994.
2. Várkonyi P.L., Domokos G. Statinis pusiausvyros standžių organai: kauliukai, žvirgždo ir Poincaré-Hopfo teorema // J. Netiesinė mokslai. 2006.
3. Várkonyi P.L., Domokos G. Vieno monostatic įstaigos: atsakymas Arnold klausimą // Matematinė intelektualė. 2006. 28 (4). P 34-38.
4. Domokas G., Varkonyi P.L. Vėžlių geometrija ir savigarba. 2008 m
5. Domokos G. monotoniška erdvinių pusiausvyros kiekis besivystančių pagal kreivumą varoma fows // J. Netiesinė mokslai. DOI 10.1007 / s00332-014-9228-3


Like this post? Please share to your friends:
Parašykite komentarą

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: